[2.5 pts] 4) Considere o PVI: x d x+(x^2 y+4 y) d y=0 e y(4)=0.
[1.0 pt] (i) Verifique que a EDO não é exata. Encontre um fator integrante.
[1.5 pt] (ii) Resolva o PVI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial x , dx + (x^2 y + 4 y) , dy = 0 com a condição inicial y(4) = 0 . O conteúdo que precisamos aqui envolve Equações Diferenciais Exatas e Fator Integrante. Nosso objetivo é verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata e resolver o problema inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a equação é exata. Uma equação está na forma exata quando partial Mpartial y = partial Npartial x, onde M é o coeficiente de dx e N o de dy.
Aqui, temos:
  • M = x
  • N = x^2 y + 4 y
Calculando as derivadas parciais:
  • partial Mpartial y = 0
  • partial Npartial x = 2x y
Como 0 neq 2x y, a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicamos a equação original por ele, torne a equação exata. Vamos procurar um fator que dependa apenas de x.
A condição para o fator integrar é:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
onde P(x) é derivada da relação que iguala as derivadas parciais após multiplicar pela mu(x).
Vamos derivar a condição:
dmudx = mu cdot partial Npartial x - partial Mpartial yM = mu cdot 2x y - 0x = 2y mu
Isso sugere que mu depende de y, o que complica. Portanto, precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 4

Vamos assumir que o fator integrante mu depende apenas de x. A condição para mu(x) tornar a equação exata é:
dmudx = mu cdot 2x yx = 2y mu
Mas isso implica que mu depende de y, o que não queremos. Então, vamos adaptar a nossa estratégia e resolver a equação para encontrar mu(x).
Dividindo os dois lados da equação original por x:
dx + (x y + 4 yx) dy = 0
A seguir, encontramos que o fator integrante adequado é:
mu(x) = 1x^2 + 4

Passo 5

Multiplicando a equação original pelo fator integrante mu(x) = 1x^2 + 4, temos:
xx^2 + 4 dx + x^2 y + 4 yx^2 + 4 dy = 0
Simplificando:
xx^2 + 4 dx + y (x^2 + 4x^2 + 4) dy = 0
Ou seja:
xx^2 + 4 dx + y , dy = 0
Agora, verificamos se a equação é exata:
  • M = xx^2 + 4
  • N = y
Calculando as derivadas parciais:
  • partial Mpartial y = 0
  • partial Npartial x = 0
Como as derivadas são iguais, a equação agora é exata.

Passo 6

Agora que a equação é exata, buscamos uma função Phi(x, y) tal que:
partial Phipartial x = xx^2 + 4
Integrando em relação a x:
Phi(x, y) = integral xx^2 + 4 dx + h(y)
A integral:
integral xx^2 + 4 dx = 12 ln(x^2 + 4)
Então:
Phi(x, y) = 12 ln(x^2 + 4) + h(y)
Agora, derivando Phi em relação a y e igualando a N:
partial Phipartial y = h'(y) = y
Integrando:
h(y) = 12 y^2 + C
Portanto, a solução geral é:
Phi(x, y) = 12 ln(x^2 + 4) + 12 y^2 = C
Simplificando:
ln(x^2 + 4) + y^2 = C

Resposta

A solução do problema inicial é:
ln(x^2 + 4) + y^2 = ln(20) + 0^2 (usando y(4) = 0)
Ou seja:
ln(x^2 + 4) + y^2 = ln(20)

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