[2.5 pts] 4) Considere o PVI:
e
.
[1.0 pt] (i) Verifique que a EDO não é exata. Encontre um fator integrante.
[1.5 pt] (ii) Resolva o PVI.
[1.0 pt] (i) Verifique que a EDO não é exata. Encontre um fator integrante.
[1.5 pt] (ii) Resolva o PVI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial
com a condição inicial
. O conteúdo que precisamos aqui envolve Equações Diferenciais Exatas e Fator Integrante. Nosso objetivo é verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para torná-la exata e resolver o problema inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a equação é exata. Uma equação está na forma exata quando
, onde
é o coeficiente de
e
o de
.
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicamos a equação original por ele, torne a equação exata. Vamos procurar um fator que dependa apenas de
.
A condição para o fator integrar é:
onde
é derivada da relação que iguala as derivadas parciais após multiplicar pela
.
Vamos derivar a condição:
Isso sugere que
depende de
, o que complica. Portanto, precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 4
Vamos assumir que o fator integrante
depende apenas de
. A condição para
tornar a equação exata é:
Mas isso implica que
depende de
, o que não queremos. Então, vamos adaptar a nossa estratégia e resolver a equação para encontrar
.
Dividindo os dois lados da equação original por
:
A seguir, encontramos que o fator integrante adequado é:
Passo 5
Multiplicando a equação original pelo fator integrante
, temos:
Simplificando:
Ou seja:
Agora, verificamos se a equação é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Como as derivadas são iguais, a equação agora é exata.
Passo 6
Agora que a equação é exata, buscamos uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
A integral:
Então:
Agora, derivando
em relação a
e igualando a
:
Integrando:
Portanto, a solução geral é:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema inicial é:
Ou seja: