Ex. 1. Usando a definição de limite, mostrar que:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x^2 yx^2+y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lim(x,y)to(0,0)x^2yx^2+y^2=0
usando a definição de limite em R^2. Isso significa que, dados varepsilon>0, devemos encontrar de<a>0 tal que, sempre que 0<raizx^2+y^2<de<a, valha
|x^2yx^2+y^2|<varepsilon

Passo 2

Começamos aplicando módulo e observando que
|x^2yx^2+y^2| =x^2,|y|x^2+y^2
Note que x^2<= x^2+y^2, de modo que
x^2x^2+y^2<=1 Longrightarrow x^2,|y|x^2+y^2<=|y|

Passo 3

Portanto chegamos à estimativa
|x^2yx^2+y^2|<=|y|
Mas, se raizx^2+y^2<de<a, então necessariamente |y|<=raizx^2+y^2<de<a. Logo
|x^2yx^2+y^2|<de<a

Passo 4

Agora basta escolher de<a de forma a controlar o valor acima. Se tomarmos
de<a=varepsilon,
então sempre que 0<raizx^2+y^2<de<a temos
|x^2yx^2+y^2|<de<a =varepsilon
Isso satisfaz exatamente a definição de limite.

Resposta

0

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