1. Mostre que a mudança de coordenadas (u, v)=(a x+b y, c x+d y) transforma o quadrado de vértices (0,0),(1,0),(1,1) e(0,1) em um paralelogramo de área |partial(u, v)partial(x, y)|.

Passo 1

O enunciado diz que temos a mudança de variáveis linear
(u,v) = (a,x + b,y,;c,x + d,y)
e queremos ver que o quadrado de vértices (0,0),(1,0),(1,1),(0,1) vira um paralelogramo cuja área é
gl|partial(u,v)partial(x,y)gr|
Isso envolve dois conceitos principais: a imagem dos vértices pela transformação linear e a fórmula de área de um paralelogramo a partir de vetores geradores (determinante).

Passo 2

Vamos calcular as imagens dos vértices do quadrado:
  • (0,0) vai em (u,v)|(0,0) = (acdot0 + bcdot0,;ccdot0 + dcdot0) = (0,0)
  • (1,0) vai em (u,v)|(1,0) = (acdot1 + bcdot0,;ccdot1 + dcdot0) = (a,c)
  • (0,1) vai em (u,v)|(0,1) = (acdot0 + bcdot1,;ccdot0 + dcdot1) = (b,d)
  • (1,1) vai em (u,v)|(1,1) = (a+b,;c+d)
Esses quatro pontos são exatamente os vértices de um paralelogramo no plano (u,v).

Passo 3

Note que esse paralelogramo pode ser descrito pelos vetores que partem de (0,0) para (a,c) e para (b,d). Ou seja, todo ponto no paralelogramo é
t,(a,c) ;+; s,(b,d), 0<= t<=1,;0<= s<=1
Assim, os vetores geradores são
v1 = (a,c), v2 = (b,d)

Passo 4

A área de um paralelogramo gerado por v1=(a,c) e v2=(b,d) é o valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores. Em outras palavras,
Área = l|detl(v1,v2r)r| = l|a,d ;-; b,cr| Á
Por outro lado, o Jacobiano da transformação (x,y)mapsto(u,v) é justamente
partial(u,v)partial(x,y) = det partial upartial x & partial upartial y[6pt] partial vpartial x & partial vpartial y = det a & b[3pt] c & d = a,d - b,c ]

Resposta

A área do paralelogramo imagem do quadrado é
l|a,d - b,cr| ;=; gl|partial(u,v)partial(x,y)gr|

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