[2,0 pts [] Derivar implicitamente:
x y+x^{2}-y^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos \frac{dy}{dx} da curva definida implicitamente por
x y + x^{2} - y^{2} = 1.
Aqui vamos usar derivação implícita, aplicando a regra do produto em x y e a regra da cadeia em y^{2}.

Passo 2

Derivando membro a membro em relação a x:
\frac{d}{dx}(x y) + \frac{d}{dx}(x^{2}) - \frac{d}{dx}(y^{2}) = \frac{d}{dx}(1).
Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}(x y)=x\frac{dy}{dx}+y\frac{d}{dx}(x)=x\,y'+y,
pela regra simples,
\frac{d}{dx}(x^{2})=2x,
e pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}(y^{2})=2y\frac{dy}{dx}=2y\,y'.
Como \frac{d}{dx}(1)=0, obtemos
x\,y' + y + 2x - 2y\,y' = 0.

Passo 3

Agrupando os termos que têm y':
y'(x - 2y) + (y + 2x) = 0
y'(x - 2y) = -\,(y + 2x)
y' = \frac{dy}{dx} = -\,\frac{y + 2x}{x - 2y}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\,\frac{y + 2x}{x - 2y}.

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