Determinar a derivada das funções paramétricas:
f(t)=\left{ \begin{array}{l}x=\cos (t)+\cos (3 t) \\ y=\operatorname{sen}(t)+\operatorname{sen}(3 t)\end{array}\right.

Passo 1

Temos a curva definida por coordenadas paramétricas
x(t)=\cos(t)+\cos(3t),\quad y(t)=\sin(t)+\sin(3t).
Queremos a derivada \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}. Para isso, usaremos a regra de derivação paramétrica
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}.

Passo 2

Calculamos a derivada de x(t) em relação a t:
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[\cos(t)+\cos(3t)\bigr] =-\sin(t)-3\,\sin(3t).

Passo 3

Calculamos a derivada de y(t) em relação a t:
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[\sin(t)+\sin(3t)\bigr] =\cos(t)+3\,\cos(3t).

Passo 4

Aplicando a fórmula paramétrica,
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{\cos(t)+3\cos(3t)}{-\sin(t)-3\sin(3t)} =-\,\frac{\cos(t)+3\cos(3t)}{\sin(t)+3\sin(3t)}.

Resposta

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =-\,\frac{\cos(t)+3\cos(3t)}{\sin(t)+3\sin(3t)}.

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