Derivar implicitamente:
\ln \left(x+y^{2}\right)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
\ln\bigl(x + y^{2}\bigr) = 1
e quer a derivada y' = \frac{dy}{dx}.
O conteúdo usado será a regra da cadeia para derivar \ln e a derivada de y^{2} em função de x.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x.
À esquerda, usamos que \frac{d}{dx}\ln(U)=\frac{U'}{U} e U = x + y^{2}.
Então
\frac{d}{dx}\ln\bigl(x + y^{2}\bigr) = \frac{1}{x + y^{2}} \cdot \frac{d}{dx}\bigl(x + y^{2}\bigr).
À direita, \frac{d}{dx}1 = 0.

Passo 3

Agora calculamos \frac{d}{dx}(x + y^{2}).
Temos \frac{d}{dx}x = 1 e, pela regra da cadeia, \frac{d}{dx}y^{2} = 2y\,y'.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl(x + y^{2}\bigr) = 1 + 2y\,y'.

Passo 4

Substituindo em

Passo 5

\frac{1 + 2y\,y'}{x + y^{2}} = 0.
Como o denominador x+y^{2} é diferente de zero (pois está dentro do \ln), o numerador deve ser zero:
1 + 2y\,y' = 0.
Desse modo,
2y\,y' = -1 \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{1}{2y}.

Resposta

y' = -\frac{1}{2y}.

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