Determinar as derivadas das funções:
f(x)=\sqrt{x \cdot\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2}}
f(x)=\sqrt{x \cdot\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2}}
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
O conteúdo principal é simplificar a expressão dentro da raiz e aplicar a regra de potências (power rule) e, se necessário, a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos escrever o que está dentro da raiz e simplificar:
Passo 3
Logo,
Supondo a região
, temos
(pois
). Então
Passo 4
Agora usamos a regra de potência em cada termo:
a) Para ,
a) Para
b) Para
,
Somando os dois resultados, obtemos
Colocando em denominador comum
: