Determinar as derivadas das funções:
f(x)=\sqrt{x \cdot\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{x\cdot\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{2}}.
O conteúdo principal é simplificar a expressão dentro da raiz e aplicar a regra de potências (power rule) e, se necessário, a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos escrever o que está dentro da raiz e simplificar:
x\cdot\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{2} = x\cdot\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}} =\frac{(x+1)^{2}}{x}.

Passo 3

Logo,
f(x) =\sqrt{\frac{(x+1)^{2}}{x}} =\frac{|x+1|}{\sqrt{x}}.
Supondo a região x>0, temos |x+1|=x+1 (pois x+1>0). Então
f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x}} =\frac{x}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}} =\sqrt{x}+x^{-\tfrac12}.

Passo 4

Agora usamos a regra de potência em cada termo:
a) Para \sqrt{x}=x^{\tfrac12},
\frac{d}{dx}\bigl(x^{\tfrac12}\bigr) =\tfrac12\,x^{-\tfrac12}.
b) Para x^{-\tfrac12},
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-\tfrac12}\bigr) =-\tfrac12\,x^{-\tfrac32}.
Somando os dois resultados, obtemos
f'(x) =\tfrac12\,x^{-\tfrac12}-\tfrac12\,x^{-\tfrac32} =\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2x^{3/2}}.
Colocando em denominador comum 2x^{3/2}:
f'(x) =\frac{x-1}{2\,x^{3/2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x-1}{2\,x^{3/2}},\quad x>0.

Exercícios relacionados