[2 pts] Determine a área da região limitada pelas curvas y=raizx e y=x2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a área da região limitada pelas curvas y = raizx e y = x2 . Esse tipo de problema faz parte da matéria de Cálculo, especificamente quando estudamos áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar os pontos de interseção das curvas e como calcular integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os valores de x onde raizx = x2 . Para resolver isso, vamos igualar as duas expressões:
raizx = x2
Elevando ambos os lados ao quadrado para se livrar da raiz:
x = ( x2 )^2 x = x^24
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
4x = x^2 x^2 - 4x = 0 x(x - 4) = 0
Então, as soluções são x = 0 e x = 4 . Esses são os pontos onde as duas curvas se intersectam.

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção ( x = 0 e x = 4 ), vamos configurar a integral para encontrar a área entre as curvas. A fórmula para a área entre duas curvas y = f(x) e y = g(x) do ponto a ao ponto b é:
Área = integrala^b [f(x) - g(x)] , dx Á
Aqui, f(x) é a curva de cima e g(x) é a curva de baixo. Precisamos identificar qual das duas funções está acima na região entre x = 0 e x = 4 .
Testando um valor entre 0 e 4, por exemplo, x = 1 :
y = raiz1 = 1 y = 12 = 0,5
Vemos que raizx está acima de x2 nesse intervalo. Então, nossa integral fica:
Área = integral0^4 ( raizx - x2 ) , dx Á

Passo 4

Agora vamos calcular a integral:
Primeiro, vamos lembrar como integrar cada termo:
  • Para raizx , que é x^1/2 :
integral raizx , dx = integral x^1/2 , dx = 23 x^3/2
  • Para x2 , que é 12x :
integral x2 , dx = 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24
Agora, substituindo na integral original:
Área = [ 23 x^3/2 - x^24 ]0^4 Á
Calculando nos limites de 0 a 4:
Para x = 4 :
23 cdot 4^3/2 - 4^24 = 23 cdot 8 - 164 = 163 - 4 = 163 - 123 = 43
Para x = 0 :
23 cdot 0^3/2 - 0^24 = 0 - 0 = 0
Então, a área total é:
43 - 0 = 43

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é 43 unidades de área.

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