[2 pts] Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Cálculo, especificamente quando estudamos áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar os pontos de interseção das curvas e como calcular integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os valores de
onde
. Para resolver isso, vamos igualar as duas expressões:
Elevando ambos os lados ao quadrado para se livrar da raiz:
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
Então, as soluções são
e
. Esses são os pontos onde as duas curvas se intersectam.
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção (
e
), vamos configurar a integral para encontrar a área entre as curvas. A fórmula para a área entre duas curvas
e
do ponto
ao ponto
é:
Aqui,
é a curva de cima e
é a curva de baixo. Precisamos identificar qual das duas funções está acima na região entre
e
.
Testando um valor entre 0 e 4, por exemplo,
:
Vemos que
está acima de
nesse intervalo. Então, nossa integral fica:
Passo 4
Agora vamos calcular a integral:
Primeiro, vamos lembrar como integrar cada termo:
- Para
, que é :
- Para
, que é :
Agora, substituindo na integral original:
Calculando nos limites de 0 a 4:
Para
:
Para
:
Então, a área total é:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades de área.