Uma superfície S é representada pela equação vetorial r(u, v)=(4 cos u, 4 sen u, 4v), 0 <= u <= 2pi, 0 <= v <= 2.
Determinar o vetor partial rpartial u times partial rpartial v no ponto onde u=pi3 e v=1, representando-o no correspondente ponto P de S.

Passo 1

Opa! A questão dá a superfície paramétrica
r(u,v) = l(4cos u,;4sin u,;4vr)
com 0<= u<=2pi, 0<= v<=2, e pede o vetor normal
partialurtimespartialvr no ponto em que u=tfracpi3 e v=1.

Passo 2

Calcular a derivada parcial em relação a u:
partialur(u,v) = l(-4sin u,;4cos u,;0r)

Passo 3

Calcular a derivada parcial em relação a v:
partialvr(u,v) = (0,;0,;4)

Passo 4

Fazer o produto vetorial
partialurtimespartialvr = i & j & k -4sin u & 4cos u & 0 0 & 0 & 4 = (16cos u,;16sin u,;0)

Passo 5

Avaliar em u=tfracpi3 (não depende de v):
(16costfracpi3,;16sintfracpi3,;0) = (8,;8raiz3,;0)

Passo 6

O ponto P correspondente é
P = r(tfracpi3,1) = (4costfracpi3,,4sintfracpi3,,4) = (2,,2raiz3,,4)
Portanto, o vetor normal ancorado em P é (8,8raiz3,0).

Resposta

Em P=(2,2raiz3,4),
partialrpartial utimespartialrpartial v = (8,,8raiz3,,0)

Exercícios relacionados