(a) [1 pt] Determine os valores de a, b e c para que f seja diferenciável em x=1;
(b) [1 pt] Esboce o gráfico de f(x).
Passo 1
O enunciado define uma função peça-por-peça
f(x)= x^2-x+a,&x<1, 1,&x=1, -,x^2+b,x+c,&x>1,
e pede (a) os valores de a,b,c para que f seja diferenciável em x=1 e (b) o esboço do gráfico. Para que f seja diferenciável em x=1 precisamos de duas coisas: continuidade em x=1 e igualdade das derivadas laterais em x=1.
Passo 2
Condição de continuidade:
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)=1
Para xto1^- temos
limxto1^-f(x)=1-1+a=a,
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a=1
Para xto1^+ temos
limxto1^+f(x)=-1 + bcdot1 + c = b + c -1
e exigimos
b + c -1 = 1Longrightarrow b + c = 2
Passo 3
Condição de igualdade das derivadas laterais:
f'-(1)=ddx(x^2 - x + a)|x=1 =2cdot1 -1 = 1,
f'+(1)=ddx(-x^2 + b,x + c)|x=1 =-2cdot1 + b = -2 + b
Igualando
1 = -2 + b Longrightarrow b=3
Como b+c=2, segue
c = 2 - b = 2 - 3 = -1
Passo 4
Esboço do gráfico de f:
Para x<1, f(x)=x^2 - x +1 é uma parábola côncava para cima com vértice em l(tfrac12,tfrac34r); ela se aproxima de (1,1) com círculo aberto nesse ponto.
Em x=1, f(1)=1 é representado por um ponto cheio em (1,1).
Para x>1, f(x)=-x^2 +3x -1 é uma parábola côncava para baixo com vértice em l(tfrac32,tfrac54r); ela também se aproxima de (1,1) com círculo aberto.
Assim as duas parábolas “casam” suavemente em (1,1), sem quinas no gráfico.
Resposta
(a) a=1,;b=3,;c=-1
(b) O gráfico consiste numa parábola côncava para cima para x<1 (vértice em (tfrac12,tfrac34)), ponto cheio em (1,1) e uma parábola côncava para baixo para x>1 (vértice em (tfrac32,tfrac54)), todas se encontrando suavemente em (1,1).