Uma lâmina esférica é representada pela equação vetorial
.
Determinar os vetores tangentes
e
, representando-os sobre a esfera.
Determinar os vetores tangentes
Passo 1
O enunciado dá uma superfície esférica parametrizada por
com
e
.
O que precisamos é encontrar os vetores tangentes e
no ponto
e mostrar que eles se assentam sobre a esfera (isto é, no plano tangente nesse ponto).
O que precisamos é encontrar os vetores tangentes
Passo 2
Para achar
basta diferenciar componente a componente em relação a
, tratando
como constante:
Passo 3
Agora avaliamos em
e
. Usando
e
, vem
Passo 4
Para
derivamos em relação a
, mantendo
fixo:
Passo 5
Avaliando em
, usando
e
, obtemos
Passo 6
O ponto correspondente na esfera é
Note que o vetor radial
é normal à superfície. Se fizermos o produto escalar dele com cada tangente, veremos
o que confirma que
e
estão no plano tangente à esfera nesse ponto.
Geometricamente, aponta na direção de variação de longitude (leste-oeste) e
aponta na direção de variação de latitude (norte-sul), ambos “colados” na superfície esférica.
Geometricamente,