Uma lâmina esférica é representada pela equação vetorial r(u, v)=(a cos u cos v, a sen u cos v, a sen v), 0 <= u <= 2pi e-pi2 <= v <= pi2.
Determinar os vetores tangentes partial rpartial u(pi4, pi6) e partial rpartial v(pi4, pi6), representando-os sobre a esfera.

Passo 1

O enunciado dá uma superfície esférica parametrizada por
vec r(u,v) = l(acos ucos v,;asin ucos v,;asin vr),
com 0<= u<=2pi e -pi/2<= v<=pi/2.
O que precisamos é encontrar os vetores tangentes partialvec r/partial u e partialvec r/partial v no ponto (u,v)=(pi/4,pi/6) e mostrar que eles se assentam sobre a esfera (isto é, no plano tangente nesse ponto).

Passo 2

Para achar partialvec r/partial u basta diferenciar componente a componente em relação a u, tratando v como constante:
partialvec rpartial u =l(-asin ucos v,;acos ucos v,;0r)

Passo 3

Agora avaliamos em u=pi/4 e v=pi/6. Usando sin(pi/4)=cos(pi/4)=tfracraiz22 e cos(pi/6)=tfracraiz32, vem
partialvec rpartial ul(tfracpi4,tfracpi6r) =l(-acdottfracraiz22cdottfracraiz32,;acdottfracraiz22cdottfracraiz32,;0r) =l(-tfracaraiz64,;tfracaraiz64,;0r)

Passo 4

Para partialvec r/partial v derivamos em relação a v, mantendo u fixo:
partialvec rpartial v =l(-acos usin v,;-asin usin v,;acos vr)

Passo 5

Avaliando em (u,v)=(pi/4,pi/6), usando sin(pi/6)=tfrac12 e cos(pi/6)=tfracraiz32, obtemos
partialvec rpartial vl(tfracpi4,tfracpi6r) =l(-acdottfracraiz22cdottfrac12,;-acdottfracraiz22cdottfrac12,;acdottfracraiz32r) =l(-tfracaraiz24,;-tfracaraiz24,;tfracaraiz32r)

Passo 6

O ponto correspondente na esfera é
vec rl(tfracpi4,tfracpi6r) =l(tfracaraiz64,;tfracaraiz64,;tfraca2r)
Note que o vetor radial vec r(pi/4,pi/6) é normal à superfície. Se fizermos o produto escalar dele com cada tangente, veremos
vec rcdotpartialvec rpartial u =vec rcdotpartialvec rpartial v=0,
o que confirma que partialvec r/partial u e partialvec r/partial v estão no plano tangente à esfera nesse ponto.
Geometricamente, partialvec r/partial u aponta na direção de variação de longitude (leste-oeste) e partialvec r/partial v aponta na direção de variação de latitude (norte-sul), ambos “colados” na superfície esférica.

Resposta

partialvec rpartial ul(tfracpi4,tfracpi6r) =l(-tfracaraiz64,;tfracaraiz64,;0r), partialvec rpartial vl(tfracpi4,tfracpi6r) =l(-tfracaraiz24,;-tfracaraiz24,;tfracaraiz32r)

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