Calcular
, sendo
a parte do plano
, recortada pelo cone
e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a parte do plano
limitada por duas curvas:
- a interseção com o cone
, isto é, quando , - e a interseção com o plano
.
O conteúdo usado será parametrização de superfície, cálculo de elemento de áreae avaliação de integrais sobre uma região planar.
Passo 2
Parametrizamos
por
com
variando numa região
do plano
. As derivadas parciais são
logo
Assim
.
Passo 3
A região
em termos de
é dada por
pois a curva de interseção do cone com
satisfaz
, dando
.
Passo 4
O integral fica
Integramos primeiro em
:
Passo 5
Agora restaria
Mas observe que a função
é ímpar em
e o intervalo de integração é simétrico em relação a zero. Logo essa integral vale zero.