Calcular integral dupla y d S, sendo S a parte do plano x=2, recortada pelo cone z=raizx^2+y^2 e pelo plano z=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaS y,dS,
onde S é a parte do plano x=2 limitada por duas curvas:
  • a interseção com o cone z=raizx^2+y^2, isto é, z=raiz4+y^2 quando x=2,
  • e a interseção com o plano z=4.
    O conteúdo usado será parametrização de superfície, cálculo de elemento de área dS e avaliação de integrais sobre uma região planar.

Passo 2

Parametrizamos S por
r(y,z) = (2,,y,,z),
com (y,z) variando numa região D do plano yz. As derivadas parciais são
ry = (0,1,0), rz = (0,0,1),
logo
| ry times rz| = |(1,0,0)| = 1
Assim dS = 1cdot dy,dz = dy,dz.

Passo 3

A região D em termos de (y,z) é dada por
raiz4+y^2 ,<= z <= 4, -2raiz3<= y<= 2raiz3,
pois a curva de interseção do cone com z=4 satisfaz 4=raiz4+y^2, dando y^2=12.

Passo 4

O integral fica
integral duplaS y,dS = integraly=-2raiz3^2raiz3 integralz=raiz4+y^2^4 y,dz,dy
Integramos primeiro em z:
integralraiz4+y^2^4 y,dz = yl[,z,r]z=raiz4+y^2^4 = yl(4 - raiz4+y^2r)

Passo 5

Agora restaria
integral-2raiz3^2raiz3 yl(4 - raiz4+y^2r),dy
Mas observe que a função
f(y)=yl(4 - raiz4+y^2r)
é ímpar em y e o intervalo de integração é simétrico em relação a zero. Logo essa integral vale zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados