[2,5 pts] Enquanto um capacitor de placas paralelas circulares de 26 cm de diâmetro está sendo carregado, a densidade de corrente da corrente de deslocamento na regiāo entre as placas é uniforme e tem um módulo de 18 A / m^2. [1.5 pts] (a) Calcule o módulo do campo magnético a uma distâneia r=60 mm do eixo de simetria dessa regiāo. (b) [1.0 pt] Calcule d Ed t nessa regiāo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de eletromagnetismo, especificamente sobre corrente de deslocamento em um capacitor de placas paralelas. A gente vai precisar entender o conceito de corrente de deslocamento e a lei de Ampère-Maxwell para calcular o campo magnético e a variação do campo elétrico nessa situação. O enunciado pede duas partes:
(a) Calcular o módulo do campo magnético a uma distância de 60 mm do eixo de simetria.
(b) Calcular dEdt na região entre as placas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). Queremos encontrar o campo magnético ( B) a uma distância r = 60 , mm do eixo de simetria do capacitor. Para isso, vamos usar a lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente total que atravessa esse caminho.

Passo 3

A lei de Ampère-Maxwell é dada por:
oint B cdot dl = mu0 ( Ic + Id )
Aqui:
  • oint B cdot dl é a integral do campo magnético ao longo do caminho fechado.
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo ( 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A).
  • Ic é a corrente de condução (que, no caso do capacitor ideal, é zero entre as placas).
  • Id é a corrente de deslocamento.

Passo 4

No capacitor enquanto está sendo carregado, a corrente de deslocamento Id é responsável por manter a continuidade do campo elétrico entre as placas. Ela é dada por:
Id = Jd cdot A
Onde:
  • Jd = 18 , A/m^2 é a densidade de corrente de deslocamento.
  • A é a área através da qual a corrente de deslocamento passa.

Passo 5

Como estamos calculando o campo magnético a uma distância r = 60 , mm, que é menor que o raio das placas ( 13 , cm), a área A é o círculo com raio r. Portanto:
A = pi r^2
Substituindo na expressão de Id:
Id = Jd cdot pi r^2

Passo 6

Agora, aplicando a lei de Ampère-Maxwell:
oint B cdot dl = B cdot 2pi r = mu0 Id = mu0 Jd pi r^2
Aqui, usamos a simetria do problema para dizer que B é constante ao longo do caminho circular de raio r.

Passo 7

Resolvendo para B:
B cdot 2pi r = mu0 Jd pi r^2 B = mu0 Jd r2
Portanto, o campo magnético a uma distância r é proporcional a r.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos calcular dEdt na região entre as placas. Sabemos que a corrente de deslocamento está relacionada com a variação temporal do campo elétrico pela seguinte relação:
Jd = epsilon0 dEdt
Onde:
  • epsilon0 = 8,85 times 10^-12 , F/m é a permissividade do vácuo.
  • E é o campo elétrico.

Passo 9

Rearranjando a equação para encontrar dEdt:
dEdt = Jdepsilon0
Isso nos dá a taxa de variação do campo elétrico em função da densidade de corrente de deslocamento.

Resposta

(a) O módulo do campo magnético a uma distância de 60 mm do eixo de simetria é:
B = mu0 Jd r2
Substituindo os valores:
B = 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A times 18 , A/m^2 times 0,06 , m2 approx 6,78 times 10^-6 , T
(b) A variação temporal do campo elétrico na região é:
dEdt = Jdepsilon0 = 18 , A/m^28,85 times 10^-12 , F/m approx 2,03 times 10^12 , V/(m·s)

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