Enquanto um capacitor de placas paralelas circulares de 26 cm de diâmetro está sendo carregado, a densidade de corrente da corrente de deslocamento na regiāo entre as placas é uniforme e tem um módulo de
. [1.5 pts] (a) Calcule o módulo do campo magnético a uma distâneia
do eixo de simetria dessa regiāo. (b)
Calcule
nessa regiāo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de eletromagnetismo, especificamente sobre corrente de deslocamento em um capacitor de placas paralelas. A gente vai precisar entender o conceito de corrente de deslocamento e a lei de Ampère-Maxwell para calcular o campo magnético e a variação do campo elétrico nessa situação. O enunciado pede duas partes:
(a) Calcular o módulo do campo magnético a uma distância de 60 mm do eixo de simetria.
(b) Calcular na região entre as placas.
(a) Calcular o módulo do campo magnético a uma distância de 60 mm do eixo de simetria.
(b) Calcular
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a). Queremos encontrar o campo magnético (
) a uma distância
do eixo de simetria do capacitor. Para isso, vamos usar a lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente total que atravessa esse caminho.
Passo 3
A lei de Ampère-Maxwell é dada por:
Aqui:
-
é a integral do campo magnético ao longo do caminho fechado. -
é a permeabilidade do vácuo ( ). -
é a corrente de condução (que, no caso do capacitor ideal, é zero entre as placas). -
é a corrente de deslocamento.
Passo 4
No capacitor enquanto está sendo carregado, a corrente de deslocamento
é responsável por manter a continuidade do campo elétrico entre as placas. Ela é dada por:
Onde:
-
é a densidade de corrente de deslocamento. -
é a área através da qual a corrente de deslocamento passa.
Passo 5
Como estamos calculando o campo magnético a uma distância
, que é menor que o raio das placas (
), a área
é o círculo com raio
. Portanto:
Substituindo na expressão de
:
Passo 6
Agora, aplicando a lei de Ampère-Maxwell:
Aqui, usamos a simetria do problema para dizer que
é constante ao longo do caminho circular de raio
.
Passo 7
Resolvendo para
:
Portanto, o campo magnético a uma distância
é proporcional a
.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos calcular
na região entre as placas. Sabemos que a corrente de deslocamento está relacionada com a variação temporal do campo elétrico pela seguinte relação:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo. -
é o campo elétrico.
Passo 9
Rearranjando a equação para encontrar
:
Isso nos dá a taxa de variação do campo elétrico em função da densidade de corrente de deslocamento.
Resposta
(a) O módulo do campo magnético a uma distância de 60 mm do eixo de simetria é:
Substituindo os valores:
(b) A variação temporal do campo elétrico na região é: