[2,0 pts] Inverta a ordem de integração de
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
Informações dadas:
- A variável externa (de fora) é
com . - Para cada
nessa faixa, a variável interna varia de até .
O objetivo é escrever uma integral equivalente em que integremos primeiro eme depois em (isto é, inverter a ordem para ).
Passo 2
Vamos interpretar geometricamente a região de integração no plano
. Definimos
As duas curvas que limitam
são as retas:
Vou encontrar os pontos chave da região avaliando essas retas nas extremidades de
.
Passo 3
Calculo os pontos correspondentes a
e
:
- Para
: e . Logo temos os pontos e . - Para
: e . Ambos coincidem no ponto .
Portanto os vértices da regiãosão , e — ou seja, é um triângulo com esses vértices.
Passo 4
Determino o intervalo total de
que cobre o triângulo
. Para
temos
entre
e
. Então
Logo o
que aparecem na região variam em
.
Passo 5
Agora, para um
fixo em
, encontro os valores de
que pertencem a
. Parto das desigualdades que definem
:
Isolo
em cada uma:
- De
obtenho . - De
obtenho .
Combinando e lembrando que, obtemos
Passo 6
A expressão
é peça chave: preciso saber em que subintervalos de
cada uma das duas funções é a menor. Igualo as duas para achar o ponto de troca:
Multiplicando por
:
⇒
⇒
. Avalio as duas funções em pontos:
- Para
: e ⇒ o mínimo é . - Para
: e ⇒ o mínimo é .
Portanto a divisão natural é em: - Se
, então e assim . - Se
, então e assim .
Passo 7
Com isso, a integral original pode ser reescrita integrando primeiro em
e depois em
. Como os limites em
são diferentes para as duas partes de
, escrevo a integral como soma de duas integrais sobre os segmentos em
: