[2,0 pts] Inverta a ordem de integração de
\int_{0}^{1} \int_{y-1}^{2-2 y} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{1} \int_{y-1}^{2-2 y} f(x, y)\,d x\,d y.
Informações dadas:
  • A variável externa (de fora) é y com 0 \le y \le 1.
  • Para cada y nessa faixa, a variável interna x varia de x=y-1 até x=2-2y.
    O objetivo é escrever uma integral equivalente em que integremos primeiro em y e depois em x (isto é, inverter a ordem para d y\,d x).

Passo 2

Vamos interpretar geometricamente a região de integração no plano (x,y). Definimos
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; y-1\le x\le 2-2y\}.
As duas curvas que limitam x são as retas:
x=y-1 \quad\text{e}\quad x=2-2y.
Vou encontrar os pontos chave da região avaliando essas retas nas extremidades de y.

Passo 3

Calculo os pontos correspondentes a y=0 e y=1:
  • Para y=0: x=y-1= -1 e x=2-2y=2. Logo temos os pontos (-1,0) e (2,0).
  • Para y=1: x=y-1=0 e x=2-2y=0. Ambos coincidem no ponto (0,1).
    Portanto os vértices da região D são (-1,0), (2,0) e (0,1) — ou seja, D é um triângulo com esses vértices.

Passo 4

Determino o intervalo total de x que cobre o triângulo D. Para y\in[0,1] temos x entre y-1 e 2-2y. Então
x_{\min}=\min_{0\le y\le1}(y-1) = -1 \quad\text{(em }y=0\text{)},
x_{\max}=\max_{0\le y\le1}(2-2y) = 2 \quad\text{(em }y=0\text{)}.
Logo o x que aparecem na região variam em [-1,2].

Passo 5

Agora, para um x fixo em [-1,2], encontro os valores de y que pertencem a D. Parto das desigualdades que definem D:
y-1\le x \le 2-2y,\qquad 0\le y\le1.
Isolo y em cada uma:
  • De y-1\le x obtenho y\le x+1.
  • De x\le 2-2y obtenho y\le \dfrac{2-x}{2}.
    Combinando e lembrando que y\ge0, obtemos
0\le y \le \min\!\left(x+1,\; \dfrac{2-x}{2}\right).

Passo 6

A expressão \min\!\left(x+1,\dfrac{2-x}{2}\right) é peça chave: preciso saber em que subintervalos de x cada uma das duas funções é a menor. Igualo as duas para achar o ponto de troca:
x+1 = \dfrac{2-x}{2}.
Multiplicando por 2: 2x+2=2-x 3x=0 x=0. Avalio as duas funções em pontos:
  • Para x=-1: x+1=0 e (2-x)/2=3/2 ⇒ o mínimo é x+1.
  • Para x=2: x+1=3 e (2-x)/2=0 ⇒ o mínimo é (2-x)/2.
    Portanto a divisão natural é em x=0:
  • Se x\in[-1,0], então x+1 \le \dfrac{2-x}{2} e assim 0\le y\le x+1.
  • Se x\in[0,2], então \dfrac{2-x}{2} \le x+1 e assim 0\le y\le \dfrac{2-x}{2}.

Passo 7

Com isso, a integral original pode ser reescrita integrando primeiro em y e depois em x. Como os limites em y são diferentes para as duas partes de x, escrevo a integral como soma de duas integrais sobre os segmentos em x:
\int_{0}^{1} \int_{y-1}^{2-2 y} f(x, y)\,d x\,d y = \int_{-1}^{0} \int_{0}^{x+1} f(x,y)\,d y\,d x + \int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{2-x}{2}} f(x,y)\,d y\,d x.

Resposta

\int_{-1}^{0} \int_{0}^{x+1} f(x,y)\,d y\,d x + \int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{2-x}{2}} f(x,y)\,d y\,d x

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