Calcule as integrais.
\iint_{B}\left(x{2}+y{2}\right) d x d y) onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A região
é o semicírculo (incluindo a fronteira) centrado na origem com raio , restringido a .\n - A função a integrar é
.\n
O que se pede: - Calcular o valor numérico da integral dupla sobre essa região.
Passo 2
Por que escolher coordenadas polares (explicação didática, sem pular etapas):\n
- A região
é definida por , que é naturalmente descrita em coordenadas polares por uma desigualdade em (o raio). Usar coordenadas polares simplifica muito integrais quando a região é circular ou radial.\n - Em coordenadas polares usamos as transformações
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo.\n
- Importante: o elemento de área em polares não é simplesmente
; é necessário o fator Jacobiano (vou explicar abaixo).
Passo 3
Explicação do Jacobiano e transformação do integrando:\n
- Quando mudamos de
para , a área infinitesimal se transforma como
Isto vem do cálculo do determinante da matriz jacobiana da transformação
. Intuitivamente, um pequeno retângulo em
tem área aproximada
.\n
- A função que estamos integrando é
. Em polares isso vira
- Portanto o integrando multiplicado pelo elemento de área será
.
Passo 4
Determinação dos limites de integração (muito explícito):\n
- O raio
percorre desde a origem até a fronteira do disco de raio . Logo
- A condição
significa que estamos na metade superior do plano. Em termos de , isso corresponde a ângulos que vão de até . Assim
- Portanto a integral dupla em polares fica com esses limites.
Passo 5
Escrever a integral em coordenadas polares e separar a ordem de integração:\n
Aqui o termo
vem de
(integrando) vezes o Jacobiano
, conforme expliquei.
Passo 6
Calcular a integral interna em
(passo a passo):\n
- Integramos
em relação a :
- Avaliando em
e :
Portanto a integral interna dá
.
Passo 7
Calcular a integral externa em
e concluir:\n
- Substituindo o resultado da integral interna:
- Portanto o valor da integral dupla sobre
é .\n
Pequena verificação conceitual (opcional mas útil para fixar): se tivéssemos o disco inteiro de raio(ou seja de a ), o resultado seria o dobro, , porque dobramos a região; isto bate com a ideia de simetria.