Calcule as integrais.
\mathbf{1 , 0}\) pt \iint_{B}\left(x{2}+y{2}\right) d x d y) onde B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 4\right. e \left.y \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy
onde B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}\leq 4 \text{ e } y\geq 0\}.\n
Informações dadas:
  • A região B é o semicírculo (incluindo a fronteira) centrado na origem com raio 2, restringido a y\geq 0.\n
  • A função a integrar é x^{2}+y^{2}.\n
    O que se pede:
  • Calcular o valor numérico da integral dupla sobre essa região.

Passo 2

Por que escolher coordenadas polares (explicação didática, sem pular etapas):\n
  • A região B é definida por x^{2}+y^{2}\leq 4, que é naturalmente descrita em coordenadas polares por uma desigualdade em r (o raio). Usar coordenadas polares simplifica muito integrais quando a região é circular ou radial.\n
  • Em coordenadas polares usamos as transformações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\geq 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.\n
  • Importante: o elemento de área em polares não é simplesmente dr\,d\theta; é necessário o fator Jacobiano r (vou explicar abaixo).

Passo 3

Explicação do Jacobiano e transformação do integrando:\n
  • Quando mudamos de (x,y) para (r,\theta), a área infinitesimal se transforma como
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Isto vem do cálculo do determinante da matriz jacobiana da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y). Intuitivamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta.\n
  • A função que estamos integrando é x^{2}+y^{2}. Em polares isso vira
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • Portanto o integrando multiplicado pelo elemento de área será r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Determinação dos limites de integração (muito explícito):\n
  • O raio r percorre desde a origem até a fronteira do disco de raio 2. Logo
0\leq r\leq 2.
  • A condição y\geq 0 significa que estamos na metade superior do plano. Em termos de \theta, isso corresponde a ângulos que vão de \theta=0 até \theta=\pi. Assim
0\leq \theta\leq \pi.
  • Portanto a integral dupla em polares fica com esses limites.

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas polares e separar a ordem de integração:\n
\iint_{B}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta.
Aqui o termo r^{3} vem de r^{2} (integrando) vezes o Jacobiano r, conforme expliquei.

Passo 6

Calcular a integral interna em r (passo a passo):\n
  • Integramos r^{3} em relação a r:
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2}.
  • Avaliando em r=2 e r=0:
\frac{2^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4} = \frac{16}{4} = 4.
Portanto a integral interna dá 4.

Passo 7

Calcular a integral externa em \theta e concluir:\n
  • Substituindo o resultado da integral interna:
\int_{0}^{\pi} 4\,d\theta = 4\left[\theta\right]_{0}^{\pi} = 4\pi.
  • Portanto o valor da integral dupla sobre B é 4\pi.\n
    Pequena verificação conceitual (opcional mas útil para fixar): se tivéssemos o disco inteiro de raio 2 (ou seja \theta de 0 a 2\pi), o resultado seria o dobro, 8\pi, porque dobramos a região; isto bate com a ideia de simetria.

Resposta

4\pi

Exercícios relacionados