Resolva a equação de Bernoulli \frac{d y}{d x}-2 \frac{y}{x}=-x^{2} y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}-2 \frac{y}{x}=-x^{2} y^{2}.
Informações fornecidas:
  • Temos uma equação diferencial de primeira ordem envolvendo y e x.
  • Não foram dadas condições iniciais, então buscamos a solução geral (família de soluções com constante arbitrária).
  • Observei que a equação contém termos em y e y^{2} e o coeficiente de y depende de x.

Passo 2

Vou transformar a equação usando uma técnica padrão que funciona quando aparece um termo y^{n}. A forma geral que usamos é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
onde P(x) e Q(x) são funções de x e n é um número (a equação dada deve ser colocada nessa forma). Aqui, a equação dada pode ser escrita como
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}\,y = -x^{2}\,y^{2}.
Comparando com a forma geral, temos:
  • P(x) = -\dfrac{2}{x},
  • Q(x) = -x^{2},
  • n = 2.
A ideia do método é fazer a substituição
v = y^{1-n}.
Essa substituição transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear em v. Vou explicar por que isso funciona antes de aplicar: se v=y^{1-n}, então v é uma potência de y, e ao derivar v em relação a x você obtém um fator envolvendo y' e potências de y que permitem cancelar o termo y^{n}.

Passo 3

Aplicando a substituição ao nosso caso específico n=2:
v = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}.
Agora calcule a derivada de v em função de y:
\frac{dv}{dx} = -y^{-2}\,\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Isolando \dfrac{dy}{dx} temos
\frac{dy}{dx} = -y^{2}\,\frac{dv}{dx}.
Substituímos essa expressão na equação original:
- y^{2}\frac{dv}{dx} - 2\frac{y}{x} = -x^{2}y^{2}.
Dividindo toda a equação por y^{2} (válido quando y\neq 0; trataremos y\equiv 0 à parte) obtemos
- \frac{dv}{dx} - \frac{2}{x}\cdot\frac{1}{y} = -x^{2}.
Lembre que \dfrac{1}{y}=v. Então a equação fica
- \frac{dv}{dx} - \frac{2}{x}v = -x^{2}.
Multiplicando por -1 para colocar em forma padrão:
\frac{dv}{dx} + \frac{2}{x}v = x^{2}.
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para v(x).

Passo 4

Resolveremos a equação linear
\frac{dv}{dx} + \frac{2}{x}v = x^{2}.
Breve lembrete didático: uma equação linear da forma \dfrac{dv}{dx}+P(x)v=R(x) se resolve com o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Aqui P(x)=\dfrac{2}{x}, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp(2\ln|x|)=x^{2},
assumindo x\neq 0. Multiplicamos a equação por \mu(x)=x^{2}:
x^{2}\frac{dv}{dx} + 2x v = x^{4}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dx}(x^{2}v). Portanto
\frac{d}{dx}\big(x^{2}v\big)=x^{4}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{2}v = \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando v:
v = \frac{x^{5}}{5x^{2}} + \frac{C}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{5} + Cx^{-2}.
Lembre que v=\dfrac{1}{y}. Assim
\frac{1}{y} = \frac{x^{3}}{5} + Cx^{-2}.
Vamos simplificar essa expressão para obter y. Colocando em denominador comum:
\frac{1}{y} = \frac{x^{5} + 5C}{5x^{2}}.
Invertendo ambos os lados:
y = \frac{5x^{2}}{x^{5} + 5C}.
Podemos renomear a constante arbitrária 5C por uma nova constante K (qualquer constante arbitrária é válida), obtendo a forma mais limpa
y=\frac{5x^{2}}{x^{5}+K},
onde K é uma constante arbitrária real. Não esqueça: também existe a solução trivial y\equiv 0, que foi excluída quando dividimos por y^{2}; substituindo y\equiv 0 na equação original obtemos 0=0, então é solução válida.

Passo 6

Observações finais e domínio:
  • A solução geral é y=\dfrac{5x^{2}}{x^{5}+K}, com constante arbitrária K, válida em intervalos onde x\neq 0 e x^{5}+K\neq 0.
  • A solução trivial y\equiv 0 também está presente.
  • Se quiser verificar rapidamente, pode derivar y e substituir na equação original; o cálculo leva aos termos que se cancelam e confirmam a solução encontrada.

Resposta

y=\dfrac{5x^{2}}{x^{5}+K}, onde K é constante arbitrária.
y\equiv 0.

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