Resolva a equação de Bernoulli
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações fornecidas:
- Temos uma equação diferencial de primeira ordem envolvendo
e . - Não foram dadas condições iniciais, então buscamos a solução geral (família de soluções com constante arbitrária).
- Observei que a equação contém termos em
e e o coeficiente de depende de .
Passo 2
Vou transformar a equação usando uma técnica padrão que funciona quando aparece um termo
. A forma geral que usamos é
onde
e
são funções de
e
é um número (a equação dada deve ser colocada nessa forma). Aqui, a equação dada pode ser escrita como
Comparando com a forma geral, temos:
-
, -
, -
.
A ideia do método é fazer a substituição
Essa substituição transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear em
. Vou explicar por que isso funciona antes de aplicar: se
, então
é uma potência de
, e ao derivar
em relação a
você obtém um fator envolvendo
e potências de
que permitem cancelar o termo
.
Passo 3
Aplicando a substituição ao nosso caso específico
:
Agora calcule a derivada de
em função de
:
Isolando
temos
Substituímos essa expressão na equação original:
Dividindo toda a equação por
(válido quando
; trataremos
à parte) obtemos
Lembre que
. Então a equação fica
Multiplicando por
para colocar em forma padrão:
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 4
Resolveremos a equação linear
Breve lembrete didático: uma equação linear da forma
se resolve com o fator integrante
Aqui
, então
assumindo
. Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Portanto
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolando
:
Lembre que
. Assim
Vamos simplificar essa expressão para obter
. Colocando em denominador comum:
Invertendo ambos os lados:
Podemos renomear a constante arbitrária
por uma nova constante
(qualquer constante arbitrária é válida), obtendo a forma mais limpa
onde
é uma constante arbitrária real. Não esqueça: também existe a solução trivial
, que foi excluída quando dividimos por
; substituindo
na equação original obtemos
, então é solução válida.
Passo 6
Observações finais e domínio:
- A solução geral é
, com constante arbitrária , válida em intervalos onde e . - A solução trivial
também está presente. - Se quiser verificar rapidamente, pode derivar
e substituir na equação original; o cálculo leva aos termos que se cancelam e confirmam a solução encontrada.