[2,0 pts.] 3) Obtenha 4 (quatro) outras ordens de integração distintas, além da ordem dada, para a integral
Passo 1
O enunciado fornece a integral iterada com as seguintes informações (peguei todas as desigualdades dos limites escritos no enunciado):
- A variável
varia entre e . - Para cada
fixo, a variável varia entre e . - Para cada
fixo, a variável varia entre e .
O enunciado pede: obter quatro outras ordens de integração distintas, além da ordem dada.
Passo 2
Entendimento geométrico da região de integração (isso é essencial para trocar a ordem):
- A região
no espaço é descrita por
- Para cada
fixo em , o conjunto de admissíveis é o retângulo . - Projeções úteis:
- Projeção em
-eixo: . - Projeção em
-eixo: (porque ). - Projeção em
-eixo: (porque ).
- Projeção em
- Relações importantes derivadas de
e (lembrando ): -
. -
. - Portanto
.
-
Essas observações servem para montar limites quando
não for a variável interna.
Passo 3
Ordem 1 (trocar apenas as integrais internas): integrar em
primeiro, depois em
, e
por último.
- Para cada
fixo temos e , então trocar a ordem das duas integrais internas é imediato. - A integral fica
Explicação rápida: mantendo
fixo o retângulo em
permite integrar
e
em qualquer ordem sem mudar os limites.
Passo 4
Ordem 2 (colocar
como variável externa): integrar em
dentro, depois
, e
por último — ordem
.
- Primeiro determinar a projeção em
: como com , tem-se . - Para cada
fixo, a condição com implica . - Para cada tal
, varia entre e . - Logo a integral fica
Explicação: projetou-se
sobre o eixo
e para cada
encontrou os
possíveis, depois os
possíveis.
Passo 5
Ordem 3 (colocar
como variável externa): integrar em
dentro, depois
, e
por último — ordem
.
- Projeção em
dá . - Para cada
fixo, a condição implica . - Para cada
nesse intervalo, varia entre e . - Assim a integral é
Explicação: projetou-se
sobre o eixo
e, para cada
, encontrou o intervalo de
e então o de
.
Passo 6
Ordem 4 (fazer
interna e
externa, ordem
); aqui aparece a necessidade de dividir a região em duas partes porque o limite inferior de
é
:
- Primeiro
. - Fixado
, comparar com : - Se
então , logo . - Se
então , logo .
- Se
- Assim a integral, expressa como soma em duas faixas em
, é
Explicação: quando o limite interno envolve
é hábito partir o domínio conforme a relação entre
e
, escrevendo a integral como soma de integrais em subconjuntos onde a fórmula do limite interno é simples.