[2,0 pts.] 3) Obtenha 4 (quatro) outras ordens de integração distintas, além da ordem dada, para a integral
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} \int_{0}^{x} f(x, y, z) d y d x d z

Passo 1

O enunciado fornece a integral iterada com as seguintes informações (peguei todas as desigualdades dos limites escritos no enunciado):
  • A variável x varia entre 0 e 1.
  • Para cada x fixo, a variável y varia entre 0 e x^{2}.
  • Para cada x fixo, a variável z varia entre 0 e x.
O enunciado pede: obter quatro outras ordens de integração distintas, além da ordem dada.

Passo 2

Entendimento geométrico da região de integração (isso é essencial para trocar a ordem):
  • A região D no espaço (x,y,z) é descrita por
D = \{(x,y,z)\mid 0\le x\le 1,\; 0\le y\le x^{2},\;0\le z\le x\}.
  • Para cada x fixo em [0,1], o conjunto de (y,z) admissíveis é o retângulo 0\le y\le x^{2},\;0\le z\le x.
  • Projeções úteis:
    • Projeção em x-eixo: x\in[0,1].
    • Projeção em y-eixo: y\in[0,1] (porque y\le x^2\le 1).
    • Projeção em z-eixo: z\in[0,1] (porque z\le x\le1).
  • Relações importantes derivadas de y\le x^{2} e z\le x (lembrando x\ge0):
    • x\ge \sqrt{y}.
    • x\ge z.
    • Portanto x\ge \max\{\sqrt{y},\,z\}.
Essas observações servem para montar limites quando x não for a variável interna.

Passo 3

Ordem 1 (trocar apenas as integrais internas): integrar em y primeiro, depois em z, e x por último.
  • Para cada x fixo temos 0\le y\le x^{2} e 0\le z\le x, então trocar a ordem das duas integrais internas é imediato.
  • A integral fica
\int_{x=0}^{1}\int_{z=0}^{x}\int_{y=0}^{x^{2}} f(x,y,z)\,dy\,dz\,dx.
Explicação rápida: mantendo x fixo o retângulo em (y,z) permite integrar y e z em qualquer ordem sem mudar os limites.

Passo 4

Ordem 2 (colocar y como variável externa): integrar em z dentro, depois x, e y por último — ordem \,dz\,dx\,dy.
  • Primeiro determinar a projeção em y: como 0\le y\le x^{2} com 0\le x\le1, tem-se 0\le y\le1.
  • Para cada y fixo, a condição y\le x^{2} com x\ge0 implica x\in[\sqrt{y},\,1].
  • Para cada tal x, z varia entre 0 e x.
  • Logo a integral fica
\int_{y=0}^{1}\int_{x=\sqrt{y}}^{1}\int_{z=0}^{x} f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy.
Explicação: projetou-se D sobre o eixo y e para cada y encontrou os x possíveis, depois os z possíveis.

Passo 5

Ordem 3 (colocar z como variável externa): integrar em y dentro, depois x, e z por último — ordem \,dy\,dx\,dz.
  • Projeção em z 0\le z\le1.
  • Para cada z fixo, a condição z\le x\le1 implica x\in[z,\,1].
  • Para cada x nesse intervalo, y varia entre 0 e x^{2}.
  • Assim a integral é
\int_{z=0}^{1}\int_{x=z}^{1}\int_{y=0}^{x^{2}} f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz.
Explicação: projetou-se D sobre o eixo z e, para cada z, encontrou o intervalo de x e então o de y.

Passo 6

Ordem 4 (fazer x interna e y externa, ordem \,dx\,dz\,dy); aqui aparece a necessidade de dividir a região em duas partes porque o limite inferior de x é \max\{\sqrt{y},z\}:
  • Primeiro y\in[0,1].
  • Fixado y, comparar z com \sqrt{y}:
    • Se 0\le z\le \sqrt{y} então \max\{\sqrt{y},z\}=\sqrt{y}, logo x\in[\sqrt{y},1].
    • Se \sqrt{y}\le z\le 1 então \max\{\sqrt{y},z\}=z, logo x\in[z,1].
  • Assim a integral, expressa como soma em duas faixas em z, é
\int_{y=0}^{1}\left(\int_{z=0}^{\sqrt{y}}\int_{x=\sqrt{y}}^{1} f(x,y,z)\,dx\,dz \;+\;\int_{z=\sqrt{y}}^{1}\int_{x=z}^{1} f(x,y,z)\,dx\,dz\right)dy.
Explicação: quando o limite interno envolve \max\{\sqrt{y},z\} é hábito partir o domínio conforme a relação entre \sqrt{y} e z, escrevendo a integral como soma de integrais em subconjuntos onde a fórmula do limite interno é simples.

Resposta

\int_{x=0}^{1}\int_{z=0}^{x}\int_{y=0}^{x^{2}} f(x,y,z)\,dy\,dz\,dx
\int_{y=0}^{1}\int_{x=\sqrt{y}}^{1}\int_{z=0}^{x} f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy
\int_{z=0}^{1}\int_{x=z}^{1}\int_{y=0}^{x^{2}} f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz
\int_{y=0}^{1}\left(\int_{z=0}^{\sqrt{y}}\int_{x=\sqrt{y}}^{1} f(x,y,z)\,dx\,dz \;+\;\int_{z=\sqrt{y}}^{1}\int_{x=z}^{1} f(x,y,z)\,dx\,dz\right)dy

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