( 2,0 pts. ) 2) Seja
a regiāo de intersecçāo das curvas
e
no plano cy. Esboce a regiāo e calcule sua área.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares e pede duas coisas: esboçar a região comum e calcular a área dessa região. Informações fornecidas:
- A primeira curva é
. - A segunda curva é
.
O que se pede: - Fazer um esboço (descrição) da região
que é a intersecção das regiões internas a essas curvas. - Calcular a área de
.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que vamos usar para área em coordenadas polares. Se uma curva polar é dada por
e o ponto é descrito por
com
, a área de uma região radialmente descrita por
para
entre
e
é
Explicação rápida e intuitiva: um setor de ângulo
e raio
tem área aproximada
; integrando ao longo de
obtém-se a área completa.
Passo 3
Vamos entender as duas curvas separadamente (isso ajuda a esboçar e decidir os limites de integração).
A curva
:
- Converter para coordenadas cartesianas:
e . Substituindo:
multiplicando ambos os lados por
:
Reescrevendo completando o quadrado:
Logo é um círculo de centro
e raio
. Observação útil: o círculo passa pela origem (porque distância do centro à origem é igual ao raio).
A curva
:
- É uma “rosa” com
. Para temos quatro pétalas (propriedade das rosas: par → pétalas). Cada pétala tem máximo . A pétala no primeiro quadrante ocorre para : em e , máximo em .
Interseções angulares importantes (antes de integrar) surgirão onde as duas curvas têm
e se cruzam.
Passo 4
Encontrar ângulos onde as curvas se intersectam (resolver
):
Escrever
. Assim
Caso
: então
e ambos os
valem
(interseção na origem).
Se
podemos dividir por
:
As soluções entre
e
são
e
. Verificando
em
:
e
. Portanto há interseção em
(ponto no primeiro quadrante).
Em
obtemos
(tanto para uma quanto para outra), o que representa o mesmo ponto físico que
; não precisamos detalhar esse reflexo porque a região interna de cada curva é obtida com
e os intervalos angulares relevantes para a interseção das regiões internas serão os onde ambas as funções são não-negativas simultaneamente.
Analisando sinais:
-
quando (módulo ). -
quando e .
A interseção angular onde ambas as funções dãoé . Dentro desse intervalo, as duas curvas se cruzam em . Para temos (rose está por dentro do círculo), e para o contrário (círculo está por dentro da pétala).
Passo 5
Expressar a área da interseção
usando minimos radiais. Para cada
a parte comum tem raio máximo igual a
. Como a troca de quem é mínimo ocorre em
, partimos a integral:
A explicação: no primeiro intervalo o limite radial comum é
, no segundo é
.
Passo 6
Calcular a primeira integral
Usar identidade
com
:
Logo
Avaliação:
Passo 7
Calcular a segunda integral
Usar
:
Integrando:
Passo 8
Somar
e
e multiplicar por
:
Somando os termos dentro dos parênteses:
Multiplicando por
:
Passo 9
Esboço descrito da região
(modo de desenhar à mão, passo a passo):
- Desenhar o círculo de centro
e raio . Ele passa pela origem e se estende até . - Desenhar a rosa
: na primeira quadrante há uma pétala que parte da origem em , cresce até em e volta à origem em . - A região
é a parte comum desses dois: no primeiro quarto de volta (primeiro quadrante) o limite radial comum é a menor das duas curvas; elas se cruzam em no ponto de coordenadas polares . Assim tem forma de “folha recortada”, contida inteiramente no primeiro quadrante, com vértice na origem e bordas formadas pela pétala e pelo arco do círculo até o ponto de interseção.