( 2,0 pts. ) 2) Seja D a regiāo de intersecçāo das curvas r=\sqrt{2} \cos \theta e r=\operatorname{sen}(2 \theta) no plano cy. Esboce a regiāo e calcule sua área.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em coordenadas polares e pede duas coisas: esboçar a região comum e calcular a área dessa região. Informações fornecidas:
  • A primeira curva é r=\sqrt{2}\cos\theta.
  • A segunda curva é r=\sin(2\theta).
    O que se pede:
  • Fazer um esboço (descrição) da região D que é a intersecção das regiões internas a essas curvas.
  • Calcular a área de D.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que vamos usar para área em coordenadas polares. Se uma curva polar é dada por r=r(\theta) e o ponto é descrito por (r,\theta) com r\ge0, a área de uma região radialmente descrita por 0\le r\le r(\theta) para \theta entre \alpha e \beta é
A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \bigl(r(\theta)\bigr)^{2}\,d\theta.
Explicação rápida e intuitiva: um setor de ângulo d\theta e raio r tem área aproximada \tfrac{1}{2}r^{2}d\theta; integrando ao longo de \theta obtém-se a área completa.

Passo 3

Vamos entender as duas curvas separadamente (isso ajuda a esboçar e decidir os limites de integração).
A curva r=\sqrt{2}\cos\theta:
  • Converter para coordenadas cartesianas: r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e \cos\theta = x/r. Substituindo:
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
multiplicando ambos os lados por \sqrt{x^{2}+y^{2}}:
x^{2}+y^{2}=\sqrt{2}\,x.
Reescrevendo completando o quadrado:
(x-\tfrac{\sqrt{2}}{2})^{2}+y^{2}=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{2}.
Logo é um círculo de centro \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},0\bigr) e raio \tfrac{\sqrt{2}}{2}. Observação útil: o círculo passa pela origem (porque distância do centro à origem é igual ao raio).
A curva r=\sin(2\theta):
  • É uma “rosa” com n=2. Para r=\sin(2\theta) temos quatro pétalas (propriedade das rosas: n par → 2n pétalas). Cada pétala tem máximo r=1. A pétala no primeiro quadrante ocorre para \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]: r=0 em \theta=0 e \theta=\tfrac{\pi}{2}, máximo r=1 em \theta=\tfrac{\pi}{4}.
Interseções angulares importantes (antes de integrar) surgirão onde as duas curvas têm r\ge0 e se cruzam.

Passo 4

Encontrar ângulos onde as curvas se intersectam (resolver \sqrt{2}\cos\theta=\sin(2\theta)):
Escrever \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Assim
\sqrt{2}\cos\theta=2\sin\theta\cos\theta.
Caso \cos\theta=0: então \theta=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2} e ambos os r valem 0 (interseção na origem).
Se \cos\theta\ne0 podemos dividir por \cos\theta:
\sqrt{2}=2\sin\theta\quad\Rightarrow\quad \sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}.
As soluções entre 0 e 2\pi são \theta=\tfrac{\pi}{4} e \theta=\tfrac{3\pi}{4}. Verificando r em \theta=\tfrac{\pi}{4}:
r=\sqrt{2}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1,
e \sin(2\cdot\tfrac{\pi}{4})=\sin(\tfrac{\pi}{2})=1. Portanto há interseção em (r,\theta)=(1,\tfrac{\pi}{4}) (ponto no primeiro quadrante).
Em \theta=\tfrac{3\pi}{4} obtemos r=-1 (tanto para uma quanto para outra), o que representa o mesmo ponto físico que r=1,\theta=\tfrac{3\pi}{4}+\pi=\tfrac{7\pi}{4}; não precisamos detalhar esse reflexo porque a região interna de cada curva é obtida com r\ge0 e os intervalos angulares relevantes para a interseção das regiões internas serão os onde ambas as funções são não-negativas simultaneamente.
Analisando sinais:
  • \sqrt{2}\cos\theta\ge0 quando \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] (módulo 2\pi).
  • \sin(2\theta)\ge0 quando \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e \theta\in[\pi,\tfrac{3\pi}{2}].
    A interseção angular onde ambas as funções dão r\ge0 é \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Dentro desse intervalo, as duas curvas se cruzam em \theta=\tfrac{\pi}{4}. Para 0\le\theta\le\tfrac{\pi}{4} temos \sin(2\theta)\le\sqrt{2}\cos\theta (rose está por dentro do círculo), e para \tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2} o contrário (círculo está por dentro da pétala).

Passo 5

Expressar a área da interseção D usando minimos radiais. Para cada \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] a parte comum tem raio máximo igual a \min\bigl(\sin(2\theta),\sqrt{2}\cos\theta\bigr). Como a troca de quem é mínimo ocorre em \theta=\tfrac{\pi}{4}, partimos a integral:
\text{Área}(D)=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} \bigl(\sin(2\theta)\bigr)^{2}\,d\theta \;+\; \int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}} \bigl(\sqrt{2}\cos\theta\bigr)^{2}\,d\theta\right).Á
A explicação: no primeiro intervalo o limite radial comum é r=\sin(2\theta), no segundo é r=\sqrt{2}\cos\theta.

Passo 6

Calcular a primeira integral
I_{1}=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} \sin^{2}(2\theta)\,d\theta.
Usar identidade \sin^{2}u=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2u)) com u=2\theta:
\sin^{2}(2\theta)=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(4\theta)\bigr).
Logo
I_{1}=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} \tfrac{1}{2}\,d\theta - \int_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} \tfrac{1}{2}\cos(4\theta)\,d\theta = \left[\tfrac{\theta}{2}\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} - \left[\tfrac{\sin(4\theta)}{8}\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{4}}.
Avaliação:
I_{1}=\tfrac{\pi}{8} - 0 = \tfrac{\pi}{8}.

Passo 7

Calcular a segunda integral
I_{2}=\int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}} \bigl(\sqrt{2}\cos\theta\bigr)^{2}\,d\theta = \int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}} 2\cos^{2}\theta\,d\theta.
Usar \cos^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(1+\cos2\theta):
I_{2}=2\int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}} \tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos2\theta\bigr)\,d\theta = \int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}} \bigl(1+\cos2\theta\bigr)\,d\theta.
Integrando:
I_{2}=\bigl[\theta+\tfrac{\sin2\theta}{2}\bigr]_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}} = \left(\tfrac{\pi}{2}+0\right) - \left(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{\pi}{4}-\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Somar I_{1} e I_{2} e multiplicar por \tfrac{1}{2}:
\text{Área}(D)=\frac{1}{2}\bigl(I_{1}+I_{2}\bigr) =\frac{1}{2}\left(\tfrac{\pi}{8} + \left(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{1}{2}\right)\right).Á
Somando os termos dentro dos parênteses:
\tfrac{\pi}{8}+\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3\pi}{8}-\tfrac{1}{2}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\text{Área}(D)=\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{3\pi}{8}-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{3\pi}{16}-\tfrac{1}{4}.Á

Passo 9

Esboço descrito da região D (modo de desenhar à mão, passo a passo):
  • Desenhar o círculo de centro \bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},0\bigr) e raio \tfrac{\sqrt{2}}{2}. Ele passa pela origem e se estende até x=\sqrt{2}.
  • Desenhar a rosa r=\sin(2\theta): na primeira quadrante há uma pétala que parte da origem em \theta=0, cresce até r=1 em \theta=\tfrac{\pi}{4} e volta à origem em \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • A região D é a parte comum desses dois: no primeiro quarto de volta (primeiro quadrante) o limite radial comum é a menor das duas curvas; elas se cruzam em \theta=\tfrac{\pi}{4} no ponto de coordenadas polares (1,\tfrac{\pi}{4}). Assim D tem forma de “folha recortada”, contida inteiramente no primeiro quadrante, com vértice na origem e bordas formadas pela pétala e pelo arco do círculo até o ponto de interseção.

Resposta

\dfrac{3\pi}{16}-\dfrac{1}{4}

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