[2 pts.] Seja o campo vetorial
dado por
a) Esboce o campo de vetores
no caso em que
e
. Neste caso,
é um campo conservativo? Justifique.
b) Determine todos os campos bidimensionais
, que são da forma dada acima, que sejam incompressíveis e irrotacionais em
. Estes campos serão sempre conservativos?
b) Determine todos os campos bidimensionais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão trata de campos vetoriais em duas dimensões. No item a), temos um campo vetorial específico dado por
. Queremos esboçar esse campo quando
e
e verificar se ele é conservativo. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como representá-lo graficamente.
Passo 2
Primeiro, substituímos os valores dados na expressão do campo vetorial:
Passo 3
Para esboçar o campo vetorial, vamos escolher alguns pontos e calcular os vetores:
- Ponto (1,1):
Isso significa que no ponto (1,1), o vetor aponta 2 unidades na direção
.
- Ponto (1,-1):
Aqui, o vetor aponta 2 unidades na direção
.
- Ponto (-1,1):
O vetor aponta 2 unidades na direção oposta a
.
- Ponto (-1,-1):
Aqui, o vetor aponta 2 unidades na direção oposta a
.
Passo 4
Com esses vetores, conseguimos esboçar o campo vetorial:
- No quadrante superior direito, os vetores apontam para a direita.
- No quadrante inferior direito, para cima.
- No quadrante inferior esquerdo, para a esquerda.
- No quadrante superior esquerdo, para baixo.
Esses vetores formam um padrão que parece girar em torno da origem, indicando rotação.
Passo 5
Agora, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Uma condição necessária para que um campo seja conservativo é que a sua rotacional seja zero.
Calculando a rotacional de
:
Passo 6
Apesar da rotacional ser zero, precisamos verificar se o campo é definido em um domínio simplesmente conexo (sem “buracos”). Como estamos trabalhando em
, que é simplesmente conexo, o campo é conservativo.
Resposta
a) O esboço do campo vetorial
mostra vetores girando em torno da origem. Este campo é conservativo porque sua rotacional é zero e está definido em um domínio simplesmente conexo.