[2 pts.] Seja o campo vetorial F: R^2 R^2 dado por
F(x, y)=(a x+b y) i+(c x+d y) j
a) Esboce o campo de vetores F no caso em que a=b=c=1 e d=-1. Neste caso, F é um campo conservativo? Justifique.
b) Determine todos os campos bidimensionais F, que são da forma dada acima, que sejam incompressíveis e irrotacionais em R^2. Estes campos serão sempre conservativos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão trata de campos vetoriais em duas dimensões. No item a), temos um campo vetorial específico dado por F(x, y) = (a x + b y)i + (c x + d y)j. Queremos esboçar esse campo quando a = b = c = 1 e d = -1 e verificar se ele é conservativo. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como representá-lo graficamente.

Passo 2

Primeiro, substituímos os valores dados na expressão do campo vetorial:
F(x, y) = (1 cdot x + 1 cdot y)i + (1 cdot x + (-1) cdot y)j = (x + y)i + (x - y)j

Passo 3

Para esboçar o campo vetorial, vamos escolher alguns pontos e calcular os vetores:
  • Ponto (1,1):
F(1,1) = (1 + 1)i + (1 - 1)j = 2i + 0j
Isso significa que no ponto (1,1), o vetor aponta 2 unidades na direção x.
  • Ponto (1,-1):
F(1,-1) = (1 + (-1))i + (1 - (-1))j = 0i + 2j
Aqui, o vetor aponta 2 unidades na direção y.
  • Ponto (-1,1):
F(-1,1) = (-1 + 1)i + (-1 - 1)j = 0i - 2j
O vetor aponta 2 unidades na direção oposta a y.
  • Ponto (-1,-1):
F(-1,-1) = (-1 + (-1))i + (-1 - (-1))j = -2i + 0j
Aqui, o vetor aponta 2 unidades na direção oposta a x.

Passo 4

Com esses vetores, conseguimos esboçar o campo vetorial:
  • No quadrante superior direito, os vetores apontam para a direita.
  • No quadrante inferior direito, para cima.
  • No quadrante inferior esquerdo, para a esquerda.
  • No quadrante superior esquerdo, para baixo.
Esses vetores formam um padrão que parece girar em torno da origem, indicando rotação.

Passo 5

Agora, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi . Uma condição necessária para que um campo seja conservativo é que a sua rotacional seja zero.
Calculando a rotacional de F :
rot , F = partial (x - y)partial x - partial (x + y)partial y = 1 - 1 = 0

Passo 6

Apesar da rotacional ser zero, precisamos verificar se o campo é definido em um domínio simplesmente conexo (sem “buracos”). Como estamos trabalhando em R^2 , que é simplesmente conexo, o campo é conservativo.

Resposta

a) O esboço do campo vetorial F(x, y) = (x + y)i + (x - y)j mostra vetores girando em torno da origem. Este campo é conservativo porque sua rotacional é zero e está definido em um domínio simplesmente conexo.

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