(1,75 pontos) Para a função dada encontre sua expansão em série de Taylor em torno do ponto indicado:
f(x)=2 x-6x, a=3

Passo 1

No primeiro passo a gente resume o enunciado: queremos a expansão em série de Taylor de f(x)= 2x-6x em torno de a=3, ou seja, em potências de h= x-3. O conteúdo principal aqui é usar a série geométrica para desenvolver termos da forma 1/(1+u).

Passo 2

Começamos simplificando a função:
f(x)=2x-6x=2-6x

Passo 3

Agora fazemos a troca x=3+h, com h= x-3. Substituindo em f(x) dá:
f(x)=2-63+h=2-63l(1+tfrach3r)=2-2cdot11+u,
onde definimos u= tfrach3.

Passo 4

Usamos a série geométrica para lvert urvert<1:
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n
Logo,
f(x)=2-2sumn=0^infty(-1)^nl(h3r)^n

Passo 5

Por fim distribuímos o 2 e separamos o termo n=0:
f(x)=2-2l[1-h3+l(h3r)^2-cdotsr] =2-2+2h3-2h^23^2+2h^33^3-cdots
Como 2-2=0 e h= x-3, chegamos à expansão em potências de x-3:
f(x)=sumn=1^infty(-1)^n-123^n(x-3)^n

Resposta

f(x)=sumn=1^infty(-1)^n-123^n(x-3)^n,lvert x-3rvert<3

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