(1,75 pontos) Para a função dada encontre sua expansão em série de Taylor em torno do ponto indicado:
Passo 1
No primeiro passo a gente resume o enunciado: queremos a expansão em série de Taylor de f(x)=
em torno de a=3, ou seja, em potências de h=
. O conteúdo principal aqui é usar a série geométrica para desenvolver termos da forma 1/(1+u).
Passo 2
Começamos simplificando a função:
Passo 3
Agora fazemos a troca x=3+h, com h=
. Substituindo em f(x) dá:
onde definimos u=
.
Passo 4
Usamos a série geométrica para
:
Logo,
Passo 5
Por fim distribuímos o 2 e separamos o termo n=0:
Como 2-2=0 e h=
, chegamos à expansão em potências de x-3: