Um polinômio P(x), quando dividido por x-1, deixa resto 1 e , quando dividido por x+1, deixa resto -1 . Qual é o resto obtido dividindo-se P(x) por x^2-1 ?

Passo 1

O enunciado diz que temos um polinômio P(x) tal que ao dividir por x-1 o resto é 1 (ou seja, P(1)=1) e ao dividir por x+1 o resto é -1 (ou seja, P(-1)=-1). Queremos o resto da divisão de P(x) por x^2-1. O conteúdo é o Teorema do Resto e representação do resto em divisão de polinômios.

Passo 2

Como x^2-1=(x-1)(x+1) é de grau 2, o resto R(x) ao dividir P(x) por x^2-1 deve ser um polinômio de grau menor que 2, logo suponha
R(x)=ax+b

Passo 3

Usando P(1)=1 e o fato de que o resto coincide com P(x) nos zeros do divisor, temos
R(1)=acdot1+b=1
ou seja,
a + b = 1

Passo 4

De modo análogo, usando P(-1)=-1,
R(-1)=acdot(-1)+b=-1
ou seja,
-,a + b = -1

Passo 5

Resolvendo o sistema
a + b = 1, -,a + b = -1,
somando as equações vem 2b=0 então b=0. Substituindo em a+b=1 obtemos a=1.

Resposta

O resto da divisão de P(x) por x^2-1 é
R(x)=x

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