Um polinômio , quando dividido por , deixa resto 1 e , quando dividido por , deixa resto -1 . Qual é o resto obtido dividindo-se por ?
Passo 1
O enunciado diz que temos um polinômio tal que ao dividir por o resto é (ou seja, ) e ao dividir por o resto é (ou seja, ). Queremos o resto da divisão de por . O conteúdo é o Teorema do Resto e representação do resto em divisão de polinômios.
Passo 2
Como é de grau 2, o resto ao dividir por deve ser um polinômio de grau menor que 2, logo suponha
Passo 3
Usando e o fato de que o resto coincide com nos zeros do divisor, temos
ou seja,
Passo 4
De modo análogo, usando ,
ou seja,
Passo 5
Resolvendo o sistema
somando as equações vem 2b=0 então b=0. Substituindo em a+b=1 obtemos a=1.