[2 pts] Seja .
(a) Calcule lim x 1^- f(x).
(b) Calcule lim x 1^+ f(x).
(c) Calcule lim x 1 f(x).
(d) A função f é contínua no ponto x=1 ? Justifique.
Passo 1
A gente tem a função definida em três casos: para x<1, f(x)=x^2+1; em x=1, f(1)=1; e para x>1, f(x)=4x−2. O objetivo é calcular os limites lateral esquerdo e direito em x=1, o limite total em x=1 e verificar se f é contínua ali.
Passo 2
Para calcular limxto1^-f(x), usamos a expressão que vale quando x<1, ou seja f(x)=x^2+1. Basta substituir x=1 diretamente na expressão polinomial, pois ela é contínua: limxto1^-f(x)=1^2+1=2.
Passo 3
Para calcular limxto1^+f(x), usamos a expressão que vale quando x>1, ou seja f(x)=4x-2. Como também é um polinômio, podemos substituir x=1: limxto1^+f(x)=4cdot1-2=4-2=2.
Passo 4
Como os limites laterais coincidem e valem 2, o limite total existe e é limxto1f(x)=2.
Passo 5
Para verificar continuidade em x=1, comparamos o valor do limite com o valor da função: limxto1f(x)=2, mas f(1)=1. São diferentes, logo f não é contínua em x=1.
Resposta
(a) 2; (b) 2; (c) 2; (d) Não é contínua em x=1, pois limxto1f(x)=2neq f(1)=1.