Nos exercícios 8 a 12 é dado lim x a f(x)=L. Determinar um número de<a para o varepsilon dado tal que |f(x)-L|<varepsilon sempre que 0<|x-a|<de<a.
lim x 5 12-x=-13 , varepsilon=0,25.

Passo 1

O enunciado diz que
limxto 512-x = -13,
e pede, para varepsilon = 0,25, um de<a>0 tal que
gl|12-x - l(-tfrac13r)gr| < varepsilon sempre que 0<|x-5|<de<a
Conteúdo: definição varepsilon- de<a de limite. Para resolver, vamos escrever |f(x)-L| em termos de |x-5|, usar desigualdades e escolher de<a.

Passo 2

Primeiro, a definição de limite: para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
0<|x-5|<de<a Longrightarrow l|f(x) - Lr| < varepsilon
Aqui f(x)=tfrac12-x e L=-tfrac13. A tarefa é achar um de<a em função de varepsilon=0,25.

Passo 3

Calculemos
gl|12-x - l(-tfrac13r)gr| = gl|12-x + 13gr| = gl|3 + (2-x)3(2-x)gr| = gl|5-x3(2-x)gr|
Como |5-x| = |x-5| e |2-x| = |x-2|, isso vira
l|f(x)-Lr| = |x-5|3,|2-x|

Passo 4

Queremos
|x-5|3,|2-x| < varepsilon
Para facilitar, vamos forçar |x-5|<1. Se |x-5|<1, então 4<x<6 e daí
|2-x| = |x-2| ;>=; min,|4-2|,|6-2|, = 2
Logo
3,|2-x| ;>=; 3cdot 2 = 6 Longrightarrow |x-5|3,|2-x| <= |x-5|6

Passo 5

Para garantir |x-5|6<varepsilon, basta impor
|x-5| < 6,varepsilon
Ao mesmo tempo, queremos |x-5|<1. Então escolhemos
de<a = min,1,,6,varepsilon
Como varepsilon=0,25, temos 6varepsilon = 1,5, e
de<a = min1,1,5 = 1

Resposta

Uma escolha válida é de<a = 1. Portanto, sempre que 0<|x-5|<1, garantimos l|f(x)-Lr|<0,25.

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