Determine equações para as retas que passam pelo ponto ( a. b ), sendo uma delas paralela e a outra perpendicular à reta cuja equação é y=m x+c, supondo que m neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações de duas retas que passam pelo ponto (a, b). Uma dessas retas deve ser paralela e a outra perpendicular à reta dada pela equação y = m x + c. Vamos usar conceitos de geometria analítica para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a reta paralela. Você sabe que retas paralelas têm a mesma inclinação (ou seja, o mesmo coeficiente angular). A inclinação da reta dada é m, então a nossa reta paralela também terá m.
Para achar a equação da reta paralela que passa por (a, b), podemos usar a fórmula da equação da reta na forma y = m x + k, onde k é o coeficiente linear que vamos descobrir.
Substituímos o ponto (a, b) na equação:
b = m cdot a + k
Resolviendo para k:
k = b - m cdot a

Passo 3

Agora, vamos para a reta perpendicular. Sabemos que retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos reciprocais. Ou seja, se a inclinação da primeira reta é m, a inclinação da reta perpendicular será -1m.
Usando novamente a forma y = m x + k para a equação da reta, mas dessa vez com a inclinação -1m, temos:
y = -1m x + k
Substituímos o ponto (a, b) nessa equação:
b = -1m cdot a + k
Resolviendo para k:
k = b + am

Resposta

As equações das retas que passam pelo ponto (a, b) são:
  • Reta paralela: y = m x + (b - m a)
  • Reta perpendicular: y = -1m x + (b + am)

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