Qual deverá ser o ângulo de espalhamento de um fóton, de 215 keV . por um elétron livre, de modo que ele perca 10,0 \% de sua ener. gia?

Passo 1

O enunciado diz que um fóton de energia inicial E = 215,keV espalha-se num elétron livre e, após o espalhamento, perde 10{,}0\% de sua energia. O conteúdo é espalhamento Compton, onde a mudança de energia do fóton está ligada ao ângulo de espalhamento \theta. Para resolver, vamos usar a fórmula de Compton em termos de energia do fóton e a relação entre E, E' e \theta.

Passo 2

Como o fóton perde 10{,}0\% de energia, a energia final E' vale
E' = E \bigl(1 - 0{,}10\bigr) = 0{,}90\,E = 0{,}90\times215\text{ keV} = 193{,}5\text{ keV}.

Passo 3

A fórmula de Compton em termos de energia é
\frac{1}{E'} \; - \; \frac{1}{E} \;=\; \frac{1 - \cos\theta}{m c^2},
onde m c^2 = 511,keV é a energia de repouso do elétron.

Passo 4

Despejando \cos\theta na equação, temos
1 - \cos\theta = m c^2\!\biggl(\frac{1}{E'} - \frac{1}{E}\biggr) \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta = 1 - m c^2\!\biggl(\frac{1}{E'} - \frac{1}{E}\biggr).

Passo 5

Calculando numericamente:
\frac{1}{E'} = \frac{1}{193{,}5}\approx0{,}0051675\quad\text{keV}^{-1}, \quad \frac{1}{E} = \frac{1}{215}\approx0{,}0046512\quad\text{keV}^{-1},
\frac{1}{E'} - \frac{1}{E}\approx0{,}0005163\quad\text{keV}^{-1}, \quad m c^2\bigl(\tfrac{1}{E'} - \tfrac{1}{E}\bigr)\approx511\times0{,}0005163\approx0{,}2643,
\cos\theta = 1 - 0{,}2643 = 0{,}7357 \quad\Longrightarrow\quad \theta = \operatorname{arccos}(0{,}7357)\approx42{,}3^\circ.

Resposta

O ângulo de espalhamento do fóton é aproximadamente 42{,}3^\circ.

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