1 a QUESTÃO

Considere as funções dadas por f(x)=x^{3}-4 x+6, g(x)=x^{2}(1-2 x) e h(x)=(3 x+1)^{2}.
Assim, o valor da função z(x)=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)+h^{\prime}(x) é igual a:

ALTERNATIVAS

z(x)=3 x^{2}+20 x+4
z(x)=-3 x^{2}+20 x-4
z(x)=3 x^{2}+20 x+2
z(x)=-3 x^{2}+18 x+2
z(x)=-3 x^{2}+20 x+2

Passo 1

O enunciado dá três funções
f(x)=x^{3}-4x+6,\quad g(x)=x^{2}(1-2x),\quad h(x)=(3x+1)^{2}
e pede a soma das derivadas z(x)=f'(x)+g'(x)+h'(x). Vamos usar regras básicas de derivação: derivada de polinômio (potência) e regra da cadeia para h.

Passo 2

Derivando f(x)=x^{3}-4x+6 usando \tfrac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1} e que constante some zero:
f'(x)=3x^{2}-4.

Passo 3

Para g(x)=x^{2}-2x^{3} (expandindo x^{2}(1-2x)), aplica-se a regra de potência em cada termo:
g'(x)=2x -6x^{2}.

Passo 4

Em h(x)=(3x+1)^{2}, usamos a regra da cadeia: a derivada de u^{2} é 2u\cdot u' com u=3x+1 e u'=3. Logo,
h'(x)=2(3x+1)\cdot3=6(3x+1)=18x+6.

Passo 5

Somando as três derivadas:
z(x)=\bigl(3x^{2}-4\bigr)+\bigl(2x-6x^{2}\bigr)+\bigl(18x+6\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
z(x)=3x^{2}-6x^{2} +2x+18x -4+6 = -3x^{2}+20x+2.

Resposta

z(x)=-3x^{2}+20x+2.

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