[2.] Verifique que a substituição x=u^{m} e y=v^{n}, sendo 2 m=3 n, reduz a EDO:
\left(2 x^{2}+4 x y^{3}\right) d x+\left(6 x^{2} y^{2}-3 y^{5}\right) d y=0
a uma EDO com coeficientes homogêneos e em seguida determine a solução geral da equação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, em sequência:
  • Verificar que a substituição x=u^{m} e y=v^{n}, com 2m=3n, transforma a equação
\left(2 x^{2}+4 x y^{3}\right) d x+\left(6 x^{2} y^{2}-3 y^{5}\right) d y=0
numa EDO cujos coeficientes são homogêneos (ou, na prática, numa EDO que pode ser reduzida usando uma razão apropriada).
  • Determinar a solução geral da equação resultante (logo, a solução geral implícita em x e y).
Informações relevantes dadas:
  • A EDO original está na forma diferencial linear em diferenciais: M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0, com M(x,y)=2x^{2}+4x y^{3},\qquad N(x,y)=6x^{2}y^{2}-3y^{5}.
  • Proposta de substituição: x=u^{m},\; y=v^{n} com a condição numérica 2m=3n. Posso escolher valores inteiros convenientes que satisfaçam essa igualdade.

Passo 2

Escolher valores de m e n convenientes para trabalhar sem frações: tome m=3 e n=2 (verificar: 2m=6 e 3n=6, logo 2m=3n fica satisfeita). Então a substituição concreta que vamos usar é
x=u^{3},\qquad y=v^{2}.
Agora calculemos os diferenciais para substituir na EDO:
dx = 3u^{2}\,du,\qquad dy = 2v\,dv.
Explico o porquê: se x=u^{3} então dx = \dfrac{d}{du}(u^{3})\,du = 3u^{2}\,du; se y=v^{2} então dy = 2v\,dv.

Passo 3

Substituir x=u^{3},\,y=v^{2},\,dx,\,dy na EDO original. Primeiro calcule os termos com essas substituições:
  • x^{2}=u^{6}, x= u^{3}, y^{3}=v^{6}, y^{2}=v^{4}, y^{5}=v^{10}.
Logo:
M(x,y)\,dx = \bigl(2u^{6} + 4 u^{3} v^{6}\bigr)\cdot 3u^{2}\,du = \bigl(6 u^{8} + 12 u^{5} v^{6}\bigr)\,du.
N(x,y)\,dy = \bigl(6 u^{6} v^{4} - 3 v^{10}\bigr)\cdot 2v\,dv = \bigl(12 u^{6} v^{5} - 6 v^{11}\bigr)\,dv.
Portanto a EDO fica
\bigl(6 u^{8} + 12 u^{5} v^{6}\bigr)\,du + \bigl(12 u^{6} v^{5} - 6 v^{11}\bigr)\,dv = 0.
Para simplificar, divido por 6:
\bigl(u^{8} + 2 u^{5} v^{6}\bigr)\,du + \bigl(2 u^{6} v^{5} - v^{11}\bigr)\,dv = 0.
Comentário didático: após a substituição os coeficientes ficaram em potências inteiras de u e v. Observa-se que muitos termos têm ordem total parecida (por exemplo vários termos têm grau total 11 em u,v), o que permite usar uma razão z entre potências de v e u para reduzir a equação a uma em que as funções dependem apenas dessa razão — isto é a ideia de reduzir para uma EDO com “coeficientes homogêneos” em sentido prático (dependendo só da razão apropriada).

Passo 4

Vamos obter uma EDO para v em função de u. Escrevemos
\frac{dv}{du} = -\frac{u^{8} + 2 u^{5} v^{6}}{2 u^{6} v^{5} - v^{11}}.
Factorizações úteis: fator comum u^{5} no numerador e v^{5} no denominador:
\frac{dv}{du} = -\frac{u^{5}\bigl(u^{3} + 2 v^{6}\bigr)}{v^{5}\bigl(2 u^{6} - v^{6}\bigr)}.
Agora introduzimos a razão que elimina as potências: defina
z=\frac{v^{2}}{u}.
Motivação: com z=v^{2}/u aparece v^{6}/u^{3}=z^{3}, e muitas combinações de potências u^a v^b passam a ser expressões em u multiplicadas por funções de z; ao diferenciar z em relação a u ocorre cancelamento conveniente (as etapas seguintes mostram isso).
Vamos relacionar dz/du e dv/du. Diferenciando z=v^{2}/u em relação a u:
dz/du = \frac{2v (dv/du)\cdot u - v^{2}}{u^{2}}.
Multiplicando por u^{2}:
u^{2}\frac{dz}{du} = 2u v\frac{dv}{du} - v^{2}.
Isolando 2u v\, dv/du:
2u v\frac{dv}{du} = u^{2}\frac{dz}{du} + v^{2}.
Portanto
\frac{dv}{du} = \frac{u^{2}\frac{dz}{du} + v^{2}}{2 u v}.
Igualamos essa expressão à expressão de dv/du obtida antes:
\frac{u^{2}\frac{dz}{du} + v^{2}}{2 u v} = -\frac{u^{5}\bigl(u^{3} + 2 v^{6}\bigr)}{v^{5}\bigl(2 u^{6} - v^{6}\bigr)}.
Agora usamos v^{2}=u z (da definição de z) para eliminar v e v^{6}:
  • v^{6}=(v^{2})^{3}=(u z)^{3}=u^{3} z^{3}.
  • v^{5}=v^{2}\cdot v^{3} = (u z)\cdot v^{3}, mas não é necessário expandir v^{5} completamente porque veremos cancelamentos; contudo é mais prático substituir v^{5} = (v^{2})^{2}\cdot v = u^{2} z^{2} v.
Substituindo no lado direito:
-\frac{u^{5}(u^{3} + 2 u^{3} z^{3})}{(u^{2} z^{2} v)(2 u^{6} - u^{3} z^{3})} = -\frac{u^{8}(1 + 2 z^{3})}{u^{2} z^{2} v\cdot u^{3}(2 u^{3} - z^{3})} = -\frac{(1 + 2 z^{3})}{z^{2} v (2 - z^{3})}.
(Aqui simplificou-se u por potências, deixando uma expressão que depende apenas de v e de z.)
Igualando com a expressão de dv/du em termos de dz/du e substituindo v^{2}=u z em u^{2}\frac{dz}{du} + v^{2}, obtém-se (após multiplicar ambos os lados por 2v):
u\frac{dz}{du} + z = -\frac{2(1 + 2 z^{3})}{z^{2}(2 - z^{3})}.
Assim chegamos a uma EDO para z(u) da forma
u\frac{dz}{du} = -z - \frac{2(1 + 2 z^{3})}{z^{2}(2 - z^{3})}.
Esta equação é uma equação de variáveis separáveis em u e z, porque é da forma u\,dz/du = F(z). Ou seja,
\frac{z^{2}(2 - z^{3})}{z^{6} -6 z^{3} -2}\,dz = \frac{du}{u},
após simplificar o lado direito para uma fração única — os detalhes algébricos aparecem no próximo passo.

Passo 5

Simplificar e separar variáveis com a substituição t=z^{3}. Primeiramente escrevo u\frac{dz}{du}=F(z) em termos de uma fração única. A manipulação algébrica dá
u\frac{dz}{du} = \frac{z^{6} -6 z^{3} -2}{(2 - z^{3}) z^{2}}.
Logo
\frac{(2 - z^{3}) z^{2}}{z^{6} -6 z^{3} -2}\,dz = \frac{du}{u}.
Agora faça t=z^{3}. Então dt = 3 z^{2}\,dz, isto é z^{2}\,dz = dt/3. Substituindo:
\frac{1}{3}\,\frac{2 - t}{t^{2} -6t -2}\,dt = \frac{du}{u}.
Portanto a integral a resolver é
\int \frac{2 - t}{3(t^{2} -6t -2)}\,dt = \int \frac{du}{u}.

Passo 6

Resolver a integral em t. Começamos escrevendo
\int \frac{2 - t}{t^{2} -6t -2}\,dt.
Para integrar, decompomos o numerador em uma parte proporcional à derivada do denominador e uma parte restante. A derivada do denominador t^{2}-6t-2 é 2t-6. Procuramos A,B tais que
2 - t = A(2t -6) + B.
Comparando coeficientes: 2A = -1 \Rightarrow A=-\tfrac{1}{2}. Então -6A + B = 2 \Rightarrow 3 + B = 2 \Rightarrow B=-1. Assim
\frac{2 - t}{t^{2} -6t -2} = -\tfrac{1}{2}\,\frac{2t -6}{t^{2} -6t -2} - \frac{1}{t^{2} -6t -2}.
Integramos termo a termo. Para o primeiro termo:
\int -\tfrac{1}{2}\,\frac{2t -6}{t^{2} -6t -2}\,dt = -\tfrac{1}{2}\ln\bigl|t^{2} -6t -2\bigr|.
Para o segundo termo, complete o quadrado no denominador:
t^{2} -6t -2 = (t-3)^{2} - 11.
Usando a integral padrão \int \dfrac{dx}{x^{2}-a^{2}} = \dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|, obtemos
\int \frac{dt}{t^{2} -6t -2} = \int \frac{dt}{(t-3)^{2} - (\sqrt{11})^{2}} = \frac{1}{2\sqrt{11}}\ln\left|\frac{t-3-\sqrt{11}}{t-3+\sqrt{11}}\right|.
Portanto a integral total (lembrando do fator 1/3 que estava fora) é
\frac{1}{3}\left(-\tfrac{1}{2}\ln|t^{2}-6t-2| - \frac{1}{2\sqrt{11}}\ln\left|\frac{t-3-\sqrt{11}}{t-3+\sqrt{11}}\right|\right) + C.
Isso é igual a \ln|u| + C (lado direito). Multiplicando ambos os lados por -6 para simplificar exponenciação, obtemos
-6\ln|u| = \ln|t^{2}-6t-2| + \frac{1}{\sqrt{11}}\ln\left|\frac{t-3-\sqrt{11}}{t-3+\sqrt{11}}\right| + C_{1}.
Exponenciando e recolocando a constante multiplicativa C, obtemos a forma implícita
u^{-6} = C\,(t^{2}-6t-2)\left(\frac{t-3-\sqrt{11}}{t-3+\sqrt{11}}\right)^{\!1/\sqrt{11}}.

Passo 7

Retornar às variáveis originais x,y. Lembre-se das definições:
u^{3}=x,\qquad v^{2}=y,\qquad t=z^{3}=\left(\frac{v^{2}}{u}\right)^{3}=\frac{v^{6}}{u^{3}}.
Mas v^{6}=(v^{2})^{3}=y^{3} e u^{3}=x. Então
t=\frac{y^{3}}{x}.
Também u^{-6}=(u^{3})^{-2}=x^{-2}. Assim a identidade encontrada em u,t transforma-se em uma identidade em x,y:
x^{-2} = C\left(\left(\frac{y^{3}}{x}\right)^{2} - 6\frac{y^{3}}{x} - 2\right) \left(\frac{\dfrac{y^{3}}{x}-3-\sqrt{11}}{\dfrac{y^{3}}{x}-3+\sqrt{11}}\right)^{\!1/\sqrt{11}}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2} para eliminar x^{-2} do lado esquerdo, obtemos uma forma mais simples e elegante:
1 = C\Bigl(y^{6} - 6x y^{3} - 2 x^{2}\Bigr) \left(\frac{y^{3} - (3+\sqrt{11})x}{y^{3} - (3-\sqrt{11})x}\right)^{\!1/\sqrt{11}}.
Renomeando a constante C (pode-se colocá-la no outro lado como uma constante arbitrária K), a solução geral implícita da EDO original é
\Bigl(y^{6} - 6x y^{3} - 2 x^{2}\Bigr) \left(\frac{y^{3} - (3+\sqrt{11})x}{y^{3} - (3-\sqrt{11})x}\right)^{\!1/\sqrt{11}} = K,
onde K é uma constante arbitrária.

Resposta

\displaystyle \Bigl(y^{6}-6x y^{3}-2x^{2}\Bigr)\left(\dfrac{y^{3}-(3+\sqrt{11})x}{\,y^{3}-(3-\sqrt{11})x\,}\right)^{\!1/\sqrt{11}}=K

Exercícios relacionados