[2.] Verifique que a substituição x=u^{m} e y=v^{n}, sendo 2 m=3 n, reduz a EDO:
\left(2 x^{2}+4 x y^{3}\right) d x+\left(6 x^{2} y^{2}-3 y^{5}\right) d y=0
a uma EDO com coeficientes homogêneos e em seguida determine a solução geral da equação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, em sequência:
Verificar que a substituição x=u^{m} e y=v^{n}, com 2m=3n, transforma a equação
\left(2 x^{2}+4 x y^{3}\right) d x+\left(6 x^{2} y^{2}-3 y^{5}\right) d y=0
numa EDO cujos coeficientes são homogêneos (ou, na prática, numa EDO que pode ser reduzida usando uma razão apropriada).
Determinar a solução geral da equação resultante (logo, a solução geral implícita em x e y).
Informações relevantes dadas:
A EDO original está na forma diferencial linear em diferenciais: M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0, comM(x,y)=2x^{2}+4x y^{3},\qquad N(x,y)=6x^{2}y^{2}-3y^{5}.
Proposta de substituição: x=u^{m},\; y=v^{n} com a condição numérica 2m=3n. Posso escolher valores inteiros convenientes que satisfaçam essa igualdade.
Passo 2
Escolher valores de m e n convenientes para trabalhar sem frações: tome m=3 e n=2 (verificar: 2m=6 e 3n=6, logo 2m=3n fica satisfeita). Então a substituição concreta que vamos usar é
x=u^{3},\qquad y=v^{2}.
Agora calculemos os diferenciais para substituir na EDO:
dx = 3u^{2}\,du,\qquad dy = 2v\,dv.
Explico o porquê: se x=u^{3} então dx = \dfrac{d}{du}(u^{3})\,du = 3u^{2}\,du; se y=v^{2} então dy = 2v\,dv.
Passo 3
Substituir x=u^{3},\,y=v^{2},\,dx,\,dy na EDO original. Primeiro calcule os termos com essas substituições:
Comentário didático: após a substituição os coeficientes ficaram em potências inteiras de u e v. Observa-se que muitos termos têm ordem total parecida (por exemplo vários termos têm grau total 11 em u,v), o que permite usar uma razão z entre potências de v e u para reduzir a equação a uma em que as funções dependem apenas dessa razão — isto é a ideia de reduzir para uma EDO com “coeficientes homogêneos” em sentido prático (dependendo só da razão apropriada).
Passo 4
Vamos obter uma EDO para v em função de u. Escrevemos
Agora introduzimos a razão que elimina as potências: defina
z=\frac{v^{2}}{u}.
Motivação: com z=v^{2}/u aparece v^{6}/u^{3}=z^{3}, e muitas combinações de potências u^a v^b passam a ser expressões em u multiplicadas por funções de z; ao diferenciar z em relação a u ocorre cancelamento conveniente (as etapas seguintes mostram isso).
Vamos relacionar dz/du e dv/du. Diferenciando z=v^{2}/u em relação a u:
dz/du = \frac{2v (dv/du)\cdot u - v^{2}}{u^{2}}.
Multiplicando por u^{2}:
u^{2}\frac{dz}{du} = 2u v\frac{dv}{du} - v^{2}.
Isolando 2u v\, dv/du:
2u v\frac{dv}{du} = u^{2}\frac{dz}{du} + v^{2}.
Portanto
\frac{dv}{du} = \frac{u^{2}\frac{dz}{du} + v^{2}}{2 u v}.
Igualamos essa expressão à expressão de dv/du obtida antes:
Agora usamos v^{2}=u z (da definição de z) para eliminar v e v^{6}:
v^{6}=(v^{2})^{3}=(u z)^{3}=u^{3} z^{3}.
v^{5}=v^{2}\cdot v^{3} = (u z)\cdot v^{3}, mas não é necessário expandir v^{5} completamente porque veremos cancelamentos; contudo é mais prático substituir v^{5} = (v^{2})^{2}\cdot v = u^{2} z^{2} v.
(Aqui simplificou-se u por potências, deixando uma expressão que depende apenas de v e de z.)
Igualando com a expressão de dv/du em termos de dz/du e substituindo v^{2}=u z em u^{2}\frac{dz}{du} + v^{2}, obtém-se (após multiplicar ambos os lados por 2v):
u\frac{dz}{du} + z = -\frac{2(1 + 2 z^{3})}{z^{2}(2 - z^{3})}.
após simplificar o lado direito para uma fração única — os detalhes algébricos aparecem no próximo passo.
Passo 5
Simplificar e separar variáveis com a substituição t=z^{3}. Primeiramente escrevo u\frac{dz}{du}=F(z) em termos de uma fração única. A manipulação algébrica dá
Para integrar, decompomos o numerador em uma parte proporcional à derivada do denominador e uma parte restante. A derivada do denominador t^{2}-6t-2 é 2t-6. Procuramos A,B tais que
2 - t = A(2t -6) + B.
Comparando coeficientes: 2A = -1 \Rightarrow A=-\tfrac{1}{2}. Então -6A + B = 2 \Rightarrow 3 + B = 2 \Rightarrow B=-1. Assim