Determine um fator integrante para cada uma das EDOs, e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas,
Passo 1
O enunciado pede dois objetivos: (i) encontrar um fator integrante para a equação diferencial dada; (ii) usar esse fator integrante para obter a solução geral. A EDO dada é
Vou listar as informações relevantes que já temos:
- Podemos escrever a equação na forma diferencial
com - O objetivo imediato é achar um fator integrante
tal que seja exata, e depois encontrar a função potencial cuja diferencial anula.
Passo 2
Primeiro verifico se a forma já é exata. Para isso calculo as derivadas parciais
Como
a forma não é exata. Preciso, então, encontrar um fator integrante
.
Passo 3
Procuro um fator integrante razoável. Uma observação útil é reescrever
agrupando termos:
Isso sugere experimentar um fator envolvendo
. Vou tentar
Agora verifico se multiplicar a equação por
torna a forma exata.
Passo 4
Multiplico
e
por
:
Calculo as parciais:
As duas derivadas parciais coincidem, portanto
é exata. Concluímos que
é um fator integrante.
Passo 5
Com a forma exata, existe uma função potencial
tal que
Integro a primeira igualdade em relação a
, tratando
como constante:
Para integrar
uso a fórmula padrão
(aqui
, tratando
como constante), obtendo
Logo
Agora imposto a condição
. Calculo
:
Comparando com
segue que
, logo
é constante. Tomando a constante incorporada em
, a função potencial é
Passo 6
A condição
dá a solução implícita da EDO:
Podemos reescrever essa expressão para ficar mais familiar. Usando a identidade
(absorvendo constantes), obtemos de forma equivalente
ou, explicitando
,
Ambas as formas representam a solução geral (a constante
absorve constantes fixas como
).