Determine um fator integrante para cada uma das EDOs, e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas,
\left(x^{3}+y+x y^{2}\right) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado pede dois objetivos: (i) encontrar um fator integrante para a equação diferencial dada; (ii) usar esse fator integrante para obter a solução geral. A EDO dada é
\left(x^{3}+y+x y^{2}\right)\,dx - x\,dy = 0.
Vou listar as informações relevantes que já temos:
  • Podemos escrever a equação na forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y)=x^{3}+y+x y^{2},\qquad N(x,y)=-x.
  • O objetivo imediato é achar um fator integrante \mu(x,y) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata, e depois encontrar a função potencial cuja diferencial anula.

Passo 2

Primeiro verifico se a forma já é exata. Para isso calculo as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=1+2xy,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-1.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=1+2xy \neq -1=\frac{\partial N}{\partial x},
a forma não é exata. Preciso, então, encontrar um fator integrante \mu(x,y).

Passo 3

Procuro um fator integrante razoável. Uma observação útil é reescrever M agrupando termos:
M(x,y)=x^{3}+x y^{2}+y = x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+y.
Isso sugere experimentar um fator envolvendo x^{2}+y^{2}. Vou tentar
\mu(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}.
Agora verifico se multiplicar a equação por \mu torna a forma exata.

Passo 4

Multiplico M e N por \mu:
\mu M=\frac{x^{3}+x y^{2}+y}{x^{2}+y^{2}}=x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \qquad \mu N=\frac{-x}{x^{2}+y^{2}}.
Calculo as parciais:
\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\mu M\biggr)=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =\frac{1\cdot(x^{2}+y^{2})-y\cdot 2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}+y^{2}-2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\mu N\biggr)=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =-\frac{(1)(x^{2}+y^{2})-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =-\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
As duas derivadas parciais coincidem, portanto \mu M\,dx+\mu N\,dy é exata. Concluímos que
\mu(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}
é um fator integrante.

Passo 5

Com a forma exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\mu M = x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\mu N = -\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Integro a primeira igualdade em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int\Bigl(x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr)\,dx =\frac{x^{2}}{2}+\int\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dx + H(y).
Para integrar \displaystyle\int\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dx uso a fórmula padrão \displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) (aqui a= y, tratando y como constante), obtendo
\int\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dx=\arctan\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr).
Logo
\Phi(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+\arctan\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)+H(y).
Agora imposto a condição \partial\Phi/\partial y=\mu N. Calculo \partial\Phi/\partial y:
\frac{\partial\Phi}{\partial y} =0+\frac{\partial}{\partial y}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)+H'(y) =-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+H'(y).
Comparando com \mu N=-\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} segue que H'(y)=0, logo H é constante. Tomando a constante incorporada em C, a função potencial é
\Phi(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+\arctan\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr).

Passo 6

A condição \Phi(x,y)=\text{constante} dá a solução implícita da EDO:
\frac{x^{2}}{2}+\arctan\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)=C.
Podemos reescrever essa expressão para ficar mais familiar. Usando a identidade \arctan\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)=\tfrac{\pi}{2}-\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) (absorvendo constantes), obtemos de forma equivalente
\arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)-\frac{x^{2}}{2}=C',
ou, explicitando y,
y = x\tan\!\Bigl(\frac{x^{2}}{2}+C'\Bigr).
Ambas as formas representam a solução geral (a constante C' absorve constantes fixas como \tfrac{\pi}{2}).

Resposta

\mu(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}
\displaystyle \arctan\!\Bigl(\dfrac{y}{x}\Bigr)-\dfrac{x^{2}}{2}=C (equivalente a \displaystyle y=x\tan\!\Bigl(\dfrac{x^{2}}{2}+C\Bigr)).

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