(20) sumk=1^infty sen(k pi4)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a soma infinita
sumk=1^inftysen!l(kpi4r)
O conteúdo aqui é séries numéricas e o teste inicial que vamos usar é o teste da divergência, que diz que, se os termos gerais não tendem a zero, a série diverge.

Passo 2

Verificamos o termo geral
ak = sen!l(kpi4r)
Para que uma série sum ak possa convergir, é necessário que
limktoinftyak = 0

Passo 3

Note que sen(kpi/4) assume valores periódicos, ciclando com período 8:
senl(tfracpi4r)=raiz22,; senl(tfracpi2r)=1,; senl(tfrac3pi4r)=raiz22,; sen(pi)=0,; senl(tfrac5pi4r)=-raiz22,; senl(tfrac3pi2r)=-1,; senl(tfrac7pi4r)=-raiz22,; sen(2pi)=0,
e então repete. Logo
limktoinftysen!l(tfrackpi4r)
não existe como 0; os termos oscilam entre pm1, pmraiz22 e 0.

Passo 4

Pelo teste da divergência, como
limktoinftyakneq0,
já podemos concluir que a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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