Questão 4. (2,0) Determinada empresa vai produzir um objeto cuja base é delimitada pelas curvas y=2 x^2-7 x+5, y=x+5, lateralmente pelo contorno da base dada e com 3 cm de altura. Determine o volume deste sólido.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido com base na região limitada pelas curvas y = 2x^2 - 7x + 5 e y = x + 5, e com altura constante de 3 cm. Para isso, vamos (1) determinar as abscissas de interseção, (2) identificar qual curva está por cima e qual por baixo, (3) calcular a área da região por integração, e por fim (4) multiplicar essa área pela altura.

Passo 2

As interseções das curvas satisfazem
2x^2 - 7x + 5 = x + 5
2x^2 - 8x = 0 Longrightarrow 2x(x - 4) = 0 Longrightarrow x = 0,;4
Num ponto típico de [0,4], por exemplo x=2, temos
2cdot2^2 - 7cdot2 + 5 = -1 e 2 + 5 = 7,
logo y = x+5 está acima e y = 2x^2 - 7x + 5 abaixo em todo o intervalo.

Passo 3

A área da base é
A = integral0^4l[(x+5) - (2x^2 - 7x + 5)r],dx = integral0^4(-2x^2 +8x),dx = [-2x^33 + 4x^2]0^4 = 643

Passo 4

Multiplicando pela altura h = 3 cm, o volume fica
V = A cdot h = 643 times 3 = 64

Resposta

O volume do sólido é 64 cm^3.

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