2^{\text {a }} ) Com os vetores \vec{u}=(-3,-2,1) e \vec{v}=(1,2,1) verifique a desigualdade de Schwarz. (Vale 1 ponto)

Passo 1

O enunciado pede verificar a desigualdade de Schwarz (Cauchy–Schwarz) para os vetores \vec{u}=(-3,-2,1) e \vec{v}=(1,2,1). Vamos usar as definições de produto escalar e norma Euclidiana.

Passo 2

Calculamos o produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v} = (-3)\cdot1 + (-2)\cdot2 + 1\cdot1 = -3 - 4 + 1 = -6.

Passo 3

Calculamos a norma de \vec{u}:
\|\vec{u}\| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}.

Passo 4

Calculamos a norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}.

Passo 5

A desigualdade de Schwarz afirma:
|\vec{u}\cdot\vec{v}| \le \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|.
Substituindo,
|\,-6\,| = 6 \quad\text{e}\quad \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\| = \sqrt{14}\,\sqrt{6} = \sqrt{84}.
Como 6 \le \sqrt{84}, a desigualdade é satisfeita.

Resposta

A desigualdade de Schwarz vale, pois |\vec{u}\cdot\vec{v}| = 6 \le \sqrt{84} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|.

Exercícios relacionados