Quando 20,9J de energia são adicionados sob a forma de calor a um gás ideal particular, o volume varia de
para
, enquanto a pressão permanece constante a 1,0atm. © Se a quantidade de gás for
, determine o calor específico molar do gás: a volume constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de termodinâmica envolvendo um gás ideal. O enunciado diz que 20,9 J de energia são adicionados como calor a um gás que muda de volume de 50,0 cm³ para 100,0 cm³ mantendo a pressão constante de 1,0 atm. Além disso, temos 2,0 × 10⁻³ mol de gás. Nosso objetivo é encontrar o calor específico molar do gás a volume constante.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é calor específico molar a volume constante, representado por $ C_V $. Ele indica a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de um mol do gás em 1 Kelvin, sem mudar o volume.
Passo 3
Como a pressão está constante, o processo é isobárico. Nesse caso, o calor adicionado ao sistema é usado tanto para aumentar a temperatura quanto para realizar trabalho de expansão. A expressão geral para o calor em processos isobáricos é:
onde:
- $ Q $ é o calor adicionado,
- $ n $ é o número de mols,
- $ C_p $ é o calor específico molar a pressão constante,
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Passo 4
Sabemos que $ C_p $ e $ C_V $ estão relacionados pela relação de Mayer:
onde $ R $ é a constante dos gases, aproximadamente 8,314 J/(mol·K).
Passo 5
Vamos também lembrar que o trabalho realizado durante a expansão a pressão constante é dado por:
onde:
- $ W $ é o trabalho,
- $ P $ é a pressão,
- $ \Delta V $ é a variação de volume.
Passo 6
A primeira lei da termodinâmica nos diz que:
onde $ \Delta U $ é a variação da energia interna, e para um gás ideal:
Passo 7
Substituindo $ \Delta U $ e $ W $ na primeira lei:
Passo 8
Agora, precisamos expressar $ \Delta T $ em termos de $ Q $, $ n $, $ C_V $, $ P $, e $ \Delta V $. Rearranjando a equação:
Passo 9
Mas também podemos relacionar $ Q $ com $ C_p $ e $ \Delta T $:
Usando $ C_p = C_V + R $:
Passo 10
Igualando as duas expressões para $ Q $:
Simplificando:
Então:
Passo 11
Isolando $ \Delta T $:
Passo 12
Agora, substituímos $ \Delta T $ na equação $ Q = n (C_V + R) \Delta T $:
Simplificando:
Passo 13
Isolando $ C_V $:
Passo 14
Agora, vamos converter todas as unidades para o SI:
- Volume de cm³ para m³: 100,0 cm³ = 100,0 × 10⁻⁶ m³
- Pressão: 1,0 atm = 101325 Pa
Passo 15
Substituindo os valores na equação de $ C_V $:
Calculando o primeiro termo:
Então:
Resposta
O calor específico molar do gás a volume constante é aproximadamente 26,0 J/(mol·K).