Considere agora uma casca cilíndrica de comprimento infinito, de material isolante, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga rho.
calcule a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa e um ponto na superfície interna. O que muda no resultado para a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície interna e um ponto na superfície externa?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma casca cilíndrica infinita, feita de um material isolante, que está uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga rho. Nosso objetivo é calcular a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa e um ponto na superfície interna dessa casca. Também vamos ver o que muda se calcularmos a diferença de potencial na ordem inversa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico em simetrias cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o campo elétrico se comporta ao redor de uma casca cilíndrica carregada. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo do campo elétrico com a carga dentro de uma superfície fechada.

Passo 3

Vamos considerar uma casca cilíndrica de raio R e comprimento L. A densidade volumétrica de carga rho significa que a carga total Q na casca é rho vezes o volume da casca. Como a casca é infinita, vamos focar no campo elétrico radial E(r) a uma distância r do eixo da casca.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss, escolhemos um cilindro gaussiano coaxial com a casca de raio r e comprimento L. O fluxo elétrico Phi através desse cilindro é igual a E(r) cdot 2pi r L, já que o campo elétrico é perpendicular à superfície lateral e uniforme.

Passo 5

A carga encerrada pelo cilindro gaussiano depende de onde estamos em relação à casca:
  • Se r < R (dentro da casca), a carga encerrada é zero, pois a carga está distribuída na casca.
  • Se r > R (fora da casca), a carga encerrada é Q = rho cdot 2pi R L.

Passo 6

Para r < R, como a carga encerrada é zero, pelo Gauss a lei, temos E(r) = 0. Ou seja, dentro da casca, não há campo elétrico.

Passo 7

Para r > R, usamos a Lei de Gauss:
E(r) cdot 2pi r L = rho cdot 2pi R Lvarepsilon0
Simplificando, encontramos:
E(r) = rho Rvarepsilon0 r

Passo 8

Agora, para encontrar a diferença de potencial elétrico entre dois pontos, lembramos que
V(b) - V(a) = -integrala^b E cdot dl
Como o campo é radial, a integral fica:
V(b) - V(a) = -integrala^b E(r) dr

Passo 9

Vamos calcular a diferença de potencial entre a superfície externa ( r = R) e a interna ( r = rin). Mas, como dentro da casca E(r) = 0, a única contribuição vem de fora:
Para r > R:
V(R) - V(rin) = -integralrin^R rho Rvarepsilon0 r dr = -rho Rvarepsilon0 ln(Rrin)

Passo 10

Se quisermos a diferença de potencial na ordem inversa, de V(rin) para V(R), basta trocar os limites da integral, o que inverte o sinal:
V(rin) - V(R) = rho Rvarepsilon0 ln(Rrin)

Resposta

A diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa e um ponto na superfície interna é:
V(R) - V(rin) = -rho Rvarepsilon0 ln(Rrin)
Se calcularmos a diferença na ordem inversa, ou seja, entre a superfície interna e a externa, o resultado muda de sinal:
V(rin) - V(R) = rho Rvarepsilon0 ln(Rrin)

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