Considere agora uma casca cilíndrica de comprimento infinito, de material isolante, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga
.
calcule a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa e um ponto na superfície interna. O que muda no resultado para a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície interna e um ponto na superfície externa?
calcule a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa e um ponto na superfície interna. O que muda no resultado para a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície interna e um ponto na superfície externa?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma casca cilíndrica infinita, feita de um material isolante, que está uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga
. Nosso objetivo é calcular a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa e um ponto na superfície interna dessa casca. Também vamos ver o que muda se calcularmos a diferença de potencial na ordem inversa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico em simetrias cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como o campo elétrico se comporta ao redor de uma casca cilíndrica carregada. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo do campo elétrico com a carga dentro de uma superfície fechada.
Passo 3
Vamos considerar uma casca cilíndrica de raio
e comprimento
. A densidade volumétrica de carga
significa que a carga total
na casca é
vezes o volume da casca. Como a casca é infinita, vamos focar no campo elétrico radial
a uma distância
do eixo da casca.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss, escolhemos um cilindro gaussiano coaxial com a casca de raio
e comprimento
. O fluxo elétrico
através desse cilindro é igual a
, já que o campo elétrico é perpendicular à superfície lateral e uniforme.
Passo 5
A carga encerrada pelo cilindro gaussiano depende de onde estamos em relação à casca:
- Se
(dentro da casca), a carga encerrada é zero, pois a carga está distribuída na casca. - Se
(fora da casca), a carga encerrada é .
Passo 6
Para
, como a carga encerrada é zero, pelo Gauss a lei, temos
. Ou seja, dentro da casca, não há campo elétrico.
Passo 7
Para
, usamos a Lei de Gauss:
Simplificando, encontramos:
Passo 8
Agora, para encontrar a diferença de potencial elétrico entre dois pontos, lembramos que
Como o campo é radial, a integral fica:
Passo 9
Vamos calcular a diferença de potencial entre a superfície externa (
) e a interna (
). Mas, como dentro da casca
, a única contribuição vem de fora:
Para
:
Passo 10
Se quisermos a diferença de potencial na ordem inversa, de
para
, basta trocar os limites da integral, o que inverte o sinal:
Resposta
A diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa e um ponto na superfície interna é:
Se calcularmos a diferença na ordem inversa, ou seja, entre a superfície interna e a externa, o resultado muda de sinal: