Um gás ideal à temperatura de
é contraído adiabaticamente até metade de seu volume original. Encontre a temperatura final do gás considerando (b) que o gás é diatômico (
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um gás ideal a 20°C que é comprimido adiabaticamente até metade do seu volume original. A parada aqui é descobrir qual será a temperatura final desse gás, sabendo que ele é diatômico e que $ C_v = \frac{5R}{2} $. Vamos precisar usar a teoria das transformações adiabáticas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que em uma transformação adiabática, não tem troca de calor com o ambiente. A relação entre a temperatura e o volume nesse caso é dada pela fórmula:
onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $. Para um gás diatômico, $ C_v = \frac{5R}{2} $. Sabemos que $ C_p = C_v + R $, então:
Passo 3
Agora, vamos colocar os valores conhecidos na fórmula. A temperatura inicial $ T_1 $ é 20°C, mas precisamos converter para Kelvin:
O volume final $ V_2 $ é metade do original $ V_1 $, então $ V_2 = \frac{V_1}{2} $.
Passo 4
Substituindo na equação adiabática:
Simplificando:
Podemos dividir os dois lados por $ V_1^{0,4} $:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \left(\frac{1}{2}\right)^{0,4} $. Usando uma calculadora:
Então:
Para encontrar $ T_2 $, dividimos 293,15 por 0,757858:
Resposta
A temperatura final do gás é aproximadamente 386,5 K.