Um gás ideal à temperatura de 20^circ C é contraído adiabaticamente até metade de seu volume original. Encontre a temperatura final do gás considerando (b) que o gás é diatômico ( Cv=5 R / 2 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um gás ideal a 20°C que é comprimido adiabaticamente até metade do seu volume original. A parada aqui é descobrir qual será a temperatura final desse gás, sabendo que ele é diatômico e que $ C_v = \frac{5R}{2} $. Vamos precisar usar a teoria das transformações adiabáticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que em uma transformação adiabática, não tem troca de calor com o ambiente. A relação entre a temperatura e o volume nesse caso é dada pela fórmula:
T1 V1^gamma - 1 = T2 V2^gamma - 1
onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $. Para um gás diatômico, $ C_v = \frac{5R}{2} $. Sabemos que $ C_p = C_v + R $, então:
gamma = CpCv

Passo 3

Agora, vamos colocar os valores conhecidos na fórmula. A temperatura inicial $ T_1 $ é 20°C, mas precisamos converter para Kelvin:
T1
O volume final $ V_2 $ é metade do original $ V_1 $, então $ V_2 = \frac{V_1}{2} $.

Passo 4

Substituindo na equação adiabática:
293,15 times V1^1,4 - 1 = T2 times (V12)^1,4 - 1
Simplificando:
293,15 times V1^0,4 = T2 times (V12)^0,4
Podemos dividir os dois lados por $ V_1^{0,4} $:
V1^0,4

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \left(\frac{1}{2}\right)^{0,4} $. Usando uma calculadora:
(12)^0,4
Então:
(12)^0,4 approx 0,757858
Para encontrar $ T_2 $, dividimos 293,15 por 0,757858:
293,15 = T2 times 0,757858

Resposta

A temperatura final do gás é aproximadamente 386,5 K.

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