Considere agora que você tem uma casca esfera maciça completa, com raio
, também carregada com uma densidade volumétrica de carga
.
Estime qualitativamente o valor da intensidade de campo elétrico E no mesmo ponto.
Estime qualitativamente o valor da intensidade de campo elétrico E no mesmo ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma esfera maciça completa com raio $ R $ e uma densidade volumétrica de carga $ \rho $. Nosso objetivo é estimar qualitativamente a intensidade do campo elétrico $ E $ em um ponto qualquer dessa esfera. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos simétricos como esse.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o comportamento do campo elétrico $ E $ depende de onde estamos medindo esse campo em relação à esfera. Ou seja, o ponto onde queremos saber $ E $ pode estar dentro da esfera ($ r < R
r > R $). Vamos analisar os dois casos separadamente.
Passo 3
Caso 1: Ponto dentro da esfera ($ r < R $)
Quando o ponto está dentro da esfera, a quantidade de carga que contribui para o campo elétrico naquele ponto é apenas a carga que está dentro de uma esfera menor com raio $ r $. A densidade de carga é uniforme, então a carga dentro desse raio $ r $ cresce proporcionalmente ao volume, ou seja, com $ r^3 $.
A Lei de Gauss nos diz que o campo elétrico $ E $ dentro da esfera varia linearmente com a distância $ r $ a partir do centro. Isso acontece porque o campo está sendo gerado apenas pela carga interna, que aumenta com $ r $.
Matematicamente:
Passo 4
Caso 2: Ponto fora da esfera ($ r > R $)
Agora, se o ponto está fora da esfera, toda a carga da esfera contribui para o campo elétrico naquele ponto. A esfera maciça e carregada pode ser tratada como se toda a sua carga estivesse concentrada no centro dela.
Nesse caso, o campo elétrico $ E $ segue a lei do inverso do quadrado da distância, igual ao campo gerado por uma carga pontual. Ou seja, à medida que você se afasta do centro, o campo diminui rapidamente.
Matematicamente:
Resposta
Resumindo, a intensidade do campo elétrico $ E $ varia de acordo com a posição do ponto em relação à esfera:
Ou seja, dentro da esfera, o campo elétrico aumenta linearmente com a distância do centro, e fora da esfera, ele diminui com o quadrado da distância.