[20] A absortividade de uma superfície pode ser definida como: \alpha_{1}=0,1 para \lambda \leq \lambda_{1} e \alpha_{2}=0,3 para \lambda>\lambda_{1}, sendo \lambda_{1}=1,6 \times 10^{-6} \mathrm{~m}. O poder emissivo desta superfície pode ser determinado com a seguinte função de radiação acumulada:
F(\lambda T) /\left(\sigma T^{4}\right)=0, para \lambda T<0,0015 \mathrm{mK},
F(\lambda T) /\left(\sigma T^{4}\right)=-82,624(\lambda T)+58218(\lambda T)^{2}, para 0,0015 \mathrm{mK} \leq \lambda T \leq 0,0029 \mathrm{mK},
F(\lambda T) /\left(\sigma T^{4}\right)=0,0915695+56,877(\lambda T)-774,58(\lambda T)^{2}, para 0,0029 \mathrm{mK} \leq \lambda T \leq
0,0234 \mathrm{mK}, e F(\lambda T) /\left(\sigma T^{4}\right)=1, para \lambda T>0,0234 \mathrm{mK}. Calcular a absortividade média de uma superfície que se encontra com temperatura de 1200 K .

Passo 1

O enunciado define a absortividade espectral de uma superfície como
\alpha(\lambda)=0,1 para \lambda \le \lambda_{1} e \alpha(\lambda)=0,3 para \lambda>\lambda_{1}, com \lambda_{1}=1,6\times10^{-6}\,\mathrm{m}. A peça fundamental aqui é usar a função de radiação acumulada normalizada
\frac{F(\lambda T)}{\sigma T^{4}}
para obter a fração da emissão de corpo negro até \lambda_{1}. A partir disso, podemos calcular a absortividade média pela relação entre energia absorvida e energia total emitida.

Passo 2

A absortividade média \bar\alpha é dada por
\bar\alpha =\frac{\displaystyle\int_{0}^{\infty}\alpha(\lambda)\,E_{b,\lambda}\,\mathrm{d}\lambda} {\sigma T^{4}} =\alpha_{1}\,\frac{F(\lambda_{1}T)}{\sigma T^{4}} +\alpha_{2}\,\Bigl(1-\frac{F(\lambda_{1}T)}{\sigma T^{4}}\Bigr).

Passo 3

Calcular o produto \lambda_{1}T:
\lambda_{1}T =1,6\times10^{-6}\,\mathrm{m}\times1200\,\mathrm{K} =1,92\times10^{-3}\,\mathrm{mK}.

Passo 4

Verificamos em qual ramo da função acumulada normalizada \frac{F(\lambda T)}{\sigma T^{4}} o valor \lambda T=1,92\times10^{-3} cai. Como
0,0015\le1,92\times10^{-3}\le0,0029,
usamos
\frac{F(\lambda T)}{\sigma T^{4}} =-82,624\,(\lambda T)+58218\,(\lambda T)^{2}.

Passo 5

Substituindo \lambda T=1,92\times10^{-3}:
-82,624\times(1,92\times10^{-3}) =-0,1586,
(1,92\times10^{-3})^{2} =3,6864\times10^{-6},
58218\times3,6864\times10^{-6} =0,2147.
Logo
\frac{F(\lambda_{1}T)}{\sigma T^{4}} =-0,1586+0,2147 =0,0561.

Passo 6

Agora a absortividade média:
\bar\alpha =0,1\times0,0561 +0,3\times(1-0,0561) =0,00561+0,28317 =0,28878\approx0,29.

Resposta

A absortividade média da superfície a 1200,K é aproximadamente 0,29.

Exercícios relacionados