[25] Uma barra de chumbo ( k=35,3 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}) ) com 15 cm de comprimento é colada pela extremidade numa barra de cobre ( k=401 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}) ) de 25 cm de comprimento. As duas barras são perfeitamente isoladas em suas partes laterais. As seções transversais das duas barras são iguais a um quadrado com lados iguais a 12 mm . A extremidade livre da barra de chumbo encontra-se fixada numa parede que é mantida a 320^{\circ} \mathrm{C}, e a extremidade livre da barra de cobre é fixada numa parede que é mantida a 215^{\circ} \mathrm{C}. Calcular a temperatura na junção entre as duas barras.

Passo 1

O problema trata de condução de calor em regime estacionário numa barra composta por duas seções em série (chumbo e cobre), ambas com área da seção transversal constante e isoladas lateralmente, com extremidades mantidas em temperaturas fixas. Vamos usar o modelo de resistências térmicas em série, em que cada seção tem resistência
R_i = \frac{L_i}{k_i A}
e o fluxo de calor é
\dot Q = \frac{T_{\text{quente}} - T_{\text{fria}}}{R_1 + R_2}\,.
A temperatura na junção é
T_j = T_{\text{quente}} - \dot Q\,R_1.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal, sabendo que o lado do quadrado é a=12\\ \text{mm}=0{,}012\\ \text{m}:
A = a^2 = (0{,}012\\ \text{m})^2 = 1{,}44\times 10^{-4}\\ \text{m}^2.

Passo 3

Determinar as resistências térmicas de cada seção:
R_1 = \frac{L_1}{k_1 A} = \frac{0{,}15\\ \text{m}}{35{,}3\\ \mathrm{W/(m\,K)}\;\times\;1{,}44\times 10^{-4}\\ \text{m}^2} \approx 29{,}52\\ \mathrm{K/W},
R_2 = \frac{L_2}{k_2 A} = \frac{0{,}25\\ \text{m}}{401\\ \mathrm{W/(m\,K)}\;\times\;1{,}44\times 10^{-4}\\ \text{m}^2} \approx 4{,}33\\ \mathrm{K/W}.
Logo,
R_{\text{total}} = R_1 + R_2 \approx 29{,}52 + 4{,}33 = 33{,}85\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

O fluxo de calor é
\dot Q = \frac{T_{\text{quente}} - T_{\text{fria}}}{R_{\text{total}}} = \frac{320^\circ\mathrm{C} - 215^\circ\mathrm{C}}{33{,}85\\ \mathrm{K/W}} \approx 3{,}10\\ \mathrm{W}.

Passo 5

A temperatura na junção vale
T_j = T_{\text{quente}} - \dot Q\,R_1 = 320^\circ\mathrm{C} - (3{,}10\\ \mathrm{W})\times(29{,}52\\ \mathrm{K/W}) \approx 228{,}4^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura na junção entre as barras é aproximadamente 228{,}4^\circ\mathrm{C}.

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