[20] O volume ocupado por uma massa de mercúrio em função da temperatura \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) é definido pela seguinte equação:
V(T)=V(0)\left[1+\left(0,18182+0,0078 \times 10^{-3} T\right) \times 10^{-3} T\right].
Sabendo-se que a densidade do mercúrio a 20^{\circ} \mathrm{C} é S G=13,546, calcular o volume que 350 kg de mercúrio ocupará na temperatura de 120^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado nos dá a lei de dilatação volumétrica do mercúrio
V(T)=V(0)\Bigl[1+\bigl(0,18182+0,0078\times10^{-3}T\bigr)\times10^{-3}T\Bigr]
e pede o volume ocupado por 350,kg de mercúrio a T=120{}^\circ\mathrm{C}, sabendo que a densidade a 20{}^\circ\mathrm{C} é SG=13,546. Vamos usar o fato de que a massa é constante e relacionar V(120) a V(20).

Passo 2

A densidade absoluta a 20{}^\circ\mathrm{C} é
\rho_{20}=SG\times1000=\;13,546\times1000\;=\;13546\;\mathrm{kg/m^3}.
Assim o volume que 350,kg de mercúrio ocupa a 20{}^\circ\mathrm{C} é
V(20)=\frac{350}{\rho_{20}} =\frac{350}{13546}\;\mathrm{m^3}.

Passo 3

Definimos o fator de variação
f(T)=1+\bigl(0,18182+0,0078\times10^{-3}T\bigr)\times10^{-3}T,
de modo que V(T)=V(0)\,f(T). Em particular,
f(20) =1+\bigl(0,18182+0,0078\times10^{-3}\times20\bigr)\times10^{-3}\times20 =1+0,00363952 =1,00363952,
f(120) =1+\bigl(0,18182+0,0078\times10^{-3}\times120\bigr)\times10^{-3}\times120 =1+0,02193072 =1,02193072.

Passo 4

Como V(20)=V(0)\,f(20) e V(120)=V(0)\,f(120), o quociente
\frac{V(120)}{V(20)} =\frac{f(120)}{f(20)} \approx\frac{1,02193072}{1,00363952} \approx1,01823.
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V(120)=V(20)\times1,01823 =\frac{350}{13546}\times1,01823 \approx0,02630\;\mathrm{m^3}.

Resposta

O volume ocupado por 350,kg de mercúrio a 120{}^\circ\mathrm{C} é aproximadamente
0,02630\;\mathrm{m^3}\quad(\approx26{,}3\;\mathrm{L}).

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