(20) Calcule uma base ortonormal do subespaço
W=\{(x, y, z, t) \mid x-3 z=0 \text { e } y-2 t=0\}

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de
W = \{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4 \mid x-3z=0,\;y-2t=0\}.
O conteúdo usado será: encontrar uma base de W e, em seguida, aplicar o Processo de Gram–Schmidt para ortonormalizar.

Passo 2

Para caracterizar W, note que as condições x=3z e y=2t permitem escrever
(x,y,z,t) = (3z,2t,z,t) = z\,(3,0,1,0) + t\,(0,2,0,1).
Logo, \{u_1,u_2\} com
u_1 = (3,0,1,0), \quad u_2 = (0,2,0,1)
é uma base de W.

Passo 3

Agora aplicamos Gram–Schmidt começando por u_1. Defina
w_1 = u_1 = (3,0,1,0),
seu comprimento é
\|w_1\| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{10},
portanto o primeiro vetor ortonormal é
e_1 = \frac{w_1}{\|w_1\|} = \frac{1}{\sqrt{10}}\,(3,0,1,0).

Passo 4

Para u_2, projetamos em e_1:
\langle u_2,e_1\rangle = (0,2,0,1)\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}(3,0,1,0) = 0,
logo u_2 já é ortogonal a e_1. Podemos tomar
w_2 = u_2 = (0,2,0,1),
cujo comprimento é
\|w_2\| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{5}.
O segundo vetor ortonormal é
e_2 = \frac{w_2}{\|w_2\|} = \frac{1}{\sqrt{5}}\,(0,2,0,1).

Resposta

Uma base ortonormal de W é
e_1 = \frac{1}{\sqrt{10}}\,(3,0,1,0), \quad e_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}\,(0,2,0,1).

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