Seja B=\{(1,1,1),(0,2,1),(0,0,1)\} subconjunto de \mathbf{R}^{\mathbf{3}}.
(a) Verifique que B é base de \mathbf{R}^{\mathbf{3}}
(b) Determine as coordenadas do vetor \mathbf{v}=(1,0,1) em relação B.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
B = \{(1,1,1),\,(0,2,1),\,(0,0,1)\}
em \mathbf{R}^3 e pede duas coisas:
  1. Mostrar que B é base de \mathbf{R}^3.
  2. Encontrar as coordenadas de \mathbf{v}=(1,0,1) em relação a B.
Para isso, precisamos usar o conceito de base em \mathbf{R}^3: um conjunto de três vetores é base se for linearmente independente (ou seja, tem determinante não nulo quando colocados como colunas de uma matriz 3\times3) e, automaticamente, gera todo o espaço.

Passo 2

Para verificar a independência linear de
v_1=(1,1,1),\quad v_2=(0,2,1),\quad v_3=(0,0,1),
colocamos esses vetores como colunas da matriz
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos o determinante. Se \det M\neq 0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Calculando o determinante por expansão na primeira linha,
\det M =1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix} -0 + 0 =1\cdot(2\cdot1-0\cdot1) =2\neq 0.
Como \det M\neq0, concluímos que v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes em \mathbf{R}^3.

Passo 4

Qualquer conjunto de três vetores em \mathbf{R}^3 que seja linearmente independente forma uma base. Portanto, B é base de \mathbf{R}^3.

Passo 5

Para achar as coordenadas de \mathbf{v}=(1,0,1) na base B, escrevemos
\mathbf{v}=a\,v_1+b\,v_2+c\,v_3
ou seja
(1,0,1) =a\,(1,1,1)+b\,(0,2,1)+c\,(0,0,1).
Isso gera o sistema de equações coordenada a coordenada:
\begin{cases} a = 1,\\\ a + 2b = 0,\\\ a + b + c = 1. \end{cases}

Passo 6

Da primeira equação vem a=1. Substituindo na segunda:
1 + 2b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -\tfrac12.
Substituindo a=1 e b=-\tfrac12 na terceira:
1 + \bigl(-\tfrac12\bigr) + c = 1 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12 + c = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = \tfrac12.

Resposta

As coordenadas de \mathbf{v}=(1,0,1) em relação à base B são
[\mathbf{v}]_B = \bigl(1,\,-\tfrac12,\,\tfrac12\bigr).
E B é base de \mathbf{R}^3 porque seus vetores são linearmente independentes ( \det M=2\neq0).

Exercícios relacionados