Calcular a distância da reta r:\left\{\begin{array}{c}x=4+3 t \\\ y=-1+t \text { ao plano } \pi: x-y-2 z+4=0 . \\\ z=t\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a reta
r:\;x=4+3t,\quad y=-1+t,\quad z=t
e o plano
\pi:\;x - y - 2z + 4 = 0.
O conteúdo é geometria analítica no espaço e vamos usar que, se a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano.
Passo 2
Extraímos o vetor direção de r e o vetor normal de \pi:
\vec v = (3,1,1), \qquad \vec n = (1,-1,-2).
Calculamos o produto escalar
\vec v \cdot \vec n = 3\cdot1 + 1\cdot(-1) + 1\cdot(-2) = 3 - 1 - 2 = 0,
logo \vec v\perp\vec n e a reta é paralela ao plano.
Passo 3
Como a reta é paralela ao plano, basta escolher um ponto na reta (por exemplo em t=0)
P(4,-1,0)
e usar a fórmula da distância de um ponto ao plano: