1. Calcular a distância da reta r:\left\{\begin{array}{c}x=4+3 t \\\ y=-1+t \text { ao plano } \pi: x-y-2 z+4=0 . \\\ z=t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:\;x=4+3t,\quad y=-1+t,\quad z=t
e o plano
\pi:\;x - y - 2z + 4 = 0.
O conteúdo é geometria analítica no espaço e vamos usar que, se a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano.

Passo 2

Extraímos o vetor direção de r e o vetor normal de \pi:
\vec v = (3,1,1), \qquad \vec n = (1,-1,-2).
Calculamos o produto escalar
\vec v \cdot \vec n = 3\cdot1 + 1\cdot(-1) + 1\cdot(-2) = 3 - 1 - 2 = 0,
logo \vec v\perp\vec n e a reta é paralela ao plano.

Passo 3

Como a reta é paralela ao plano, basta escolher um ponto na reta (por exemplo em t=0)
P(4,-1,0)
e usar a fórmula da distância de um ponto ao plano:
d = \frac{\bigl|\,Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.

Passo 4

No nosso caso A=1, B=-1, C=-2, D=4 e (x_0,y_0,z_0)=(4,-1,0), então
\bigl|Ax_0+By_0+Cz_0+D\bigr| =|1\cdot4 + (-1)\cdot(-1) + (-2)\cdot0 + 4| =|4+1+0+4|=9
e
\sqrt{A^2+B^2+C^2} =\sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2} =\sqrt{6}.
Portanto
d = \frac{9}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt6}{2}.

Resposta

\frac{3\sqrt6}{2}

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