Seja \alpha=\{(1,2),(-1,0)\} ; \beta=\{(1,-1),(2,0)\} e T: R^{2} \rightarrow R^{2} tal que
T_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right)
a. (10) Calcule T(1,2)
b. (20) Calcule T(x, y) para todo (x, y)
c. (15) Qual o núcleo de T ?

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^2:
\alpha=\{(1,2),(-1,0)\} como base do domínio e
\beta=\{(1,-1),(2,0)\} como base do contradomínio, e a matriz de T relativa a essas bases é
T_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix}.
Isso significa que as colunas dessa matriz são as coordenadas de T(\alpha_1) e T(\alpha_2) na base \beta. Vamos usar isso para (a) obter T(1,2), depois (b) achar T(x,y) geral, e por fim (c) determinar \ker T.

Passo 2

Para calcular T(1,2), note que (1,2)=\alpha_1. A primeira coluna de T_{\beta}^{\alpha} é
\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
que são as coordenadas de T(\alpha_1) na base \beta. Logo
T(1,2)=1\cdot\beta_1 + (-1)\cdot\beta_2 =(1)\,(1,-1)+(-1)\,(2,0) =(1-2,\,-1-0) =(-1,-1).

Passo 3

Para achar [T(x,y)) em coordenadas padrão, fazemos três etapas:
  1. Expressar (x,y) em coordenadas de \alpha.
    Procuramos c_1,c_2 tais que
    (x,y)=c_1(1,2)+c_2(-1,0).
    Isso dá o sistema
    \begin{cases} c_1 - c_2 = x,\\\\ 2c_1 = y. \end{cases}
    Da segunda equação vem (c_1=\tfrac y2]. Então
    c_2 = c_1 - x = \tfrac y2 - x.
  2. Aplicar a matriz T_{\beta}^{\alpha} a \bigl(c_1,c_2\bigr).
    \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2\\\ -1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_1\c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 + 2c_2\\\\ -c_1 + c_2 \end{pmatrix}.
    Substituindo c_1=\tfrac y2 e c_2=\tfrac y2 - x,
    u = \tfrac y2 + 2\bigl(\tfrac y2 - x\bigr) = \tfrac y2 + y -2x = \tfrac{3y}{2} -2x,
v = -\tfrac y2 + \bigl(\tfrac y2 - x\bigr) = -x.
  1. Converter (u,v) em coordenadas padrão via base \beta: T(x,y) = u\,(1,-1) + v\,(2,0) = \bigl(u+2v,\,-u\bigr).Logo, com u=\tfrac{3y}{2}-2x e v=-x, T(x,y) = \Bigl(\tfrac{3y}{2}-2x +2(-x),\;-\bigl(\tfrac{3y}{2}-2x\bigr)\Bigr) =\Bigl(-4x + \tfrac{3y}{2},\;2x - \tfrac{3y}{2}\Bigr).

Passo 4

O núcleo de T\) é o conjunto de \((x,y)\) tais que \(T(x,y)=(0,0)\). A partir da fórmula de \(T(x,y)\) temos o sistema \[\begin{cases} -4x + \tfrac{3y}{2} = 0,\\\\ 2x - \tfrac{3y}{2} = 0. \end{cases}
As duas equações são equivalentes (a segunda é -\tfrac12\] da primeira). Basta \[-4x + \tfrac{3y}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 3y = 8x \quad\Longrightarrow\quad y=\tfrac{8}{3}x.\] Assim \[(x,y) = x\,(1,\tfrac{8}{3}) = t\,(3,8),\] onde \(t\in\mathbb{R}. Logo
\ker T = \mathrm{span}\{(3,8)\}.

Resposta

a. T(1,2)=(-1,-1)
b. T(x,y)=\bigl(-4x + \tfrac{3y}{2},\,2x - \tfrac{3y}{2}\bigr)
c. \ker T = \mathrm{span}\{(3,8)\}

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