a. (10) Calcule T(1,2)
b. (20) Calcule T(x, y) para todo (x, y)
c. (15) Qual o núcleo de T ?
Passo 1
O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^2: \alpha=\{(1,2),(-1,0)\} como base do domínio e \beta=\{(1,-1),(2,0)\} como base do contradomínio, e a matriz de T relativa a essas bases é
Isso significa que as colunas dessa matriz são as coordenadas de T(\alpha_1) e T(\alpha_2) na base \beta. Vamos usar isso para (a) obter T(1,2), depois (b) achar T(x,y) geral, e por fim (c) determinar \ker T.
Passo 2
Para calcular T(1,2), note que (1,2)=\alpha_1. A primeira coluna de T_{\beta}^{\alpha} é
\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
que são as coordenadas de T(\alpha_1) na base \beta. Logo
u = \tfrac y2 + 2\bigl(\tfrac y2 - x\bigr) = \tfrac y2 + y -2x = \tfrac{3y}{2} -2x,
v = -\tfrac y2 + \bigl(\tfrac y2 - x\bigr) = -x.
Converter (u,v) em coordenadas padrão via base \beta:T(x,y) = u\,(1,-1) + v\,(2,0) = \bigl(u+2v,\,-u\bigr).Logo, com u=\tfrac{3y}{2}-2x e v=-x,T(x,y) = \Bigl(\tfrac{3y}{2}-2x +2(-x),\;-\bigl(\tfrac{3y}{2}-2x\bigr)\Bigr) =\Bigl(-4x + \tfrac{3y}{2},\;2x - \tfrac{3y}{2}\Bigr).
Passo 4
O núcleo de T\) é o conjunto de \((x,y)\) tais que \(T(x,y)=(0,0)\). A partir da fórmula de \(T(x,y)\) temos o sistema
\[\begin{cases} -4x + \tfrac{3y}{2} = 0,\\\\ 2x - \tfrac{3y}{2} = 0. \end{cases}
As duas equações são equivalentes (a segunda é -\tfrac12\] da primeira). Basta
\[-4x + \tfrac{3y}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 3y = 8x \quad\Longrightarrow\quad y=\tfrac{8}{3}x.\]
Assim
\[(x,y) = x\,(1,\tfrac{8}{3}) = t\,(3,8),\]
onde \(t\in\mathbb{R}. Logo
\ker T = \mathrm{span}\{(3,8)\}.
Resposta
a. T(1,2)=(-1,-1)
b. T(x,y)=\bigl(-4x + \tfrac{3y}{2},\,2x - \tfrac{3y}{2}\bigr)
c. \ker T = \mathrm{span}\{(3,8)\}