(20) Determine, se possível, a e b para que o sistema tenha infinitas soluções:
\left\{\begin{array}{l} x-y+z=a \\\ x+y+3 z=2 \\\ x+y+b z=a \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x - y + z = a,\\\ x + y + 3z = 2,\\\ x + y + b z = a, \end{cases}
queremos valores de a e b que façam o sistema ter infinitas soluções. O critério é que a matriz dos coeficientes tenha posto menor que 3 (para haver dependência) e que o posto da matriz aumentada seja igual ao posto da matriz dos coeficientes (para ser consistentes).

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 3\\\\ 1 & 1 & b \end{pmatrix}.
O determinante de A é
\det(A) =1\cdot\bigl(1\cdot b - 3\cdot1\bigr) -(-1)\cdot\bigl(1\cdot b - 3\cdot1\bigr) +1\cdot\bigl(1\cdot1 - 1\cdot1\bigr) =2(b-3).
Para posto menor que 3, precisamos de \det(A)=0, ou seja
b-3=0 \quad\Longrightarrow\quad b=3.

Passo 3

Com b=3, as duas últimas equações do sistema ficam
x + y + 3z=2 \quad\text{e}\quad x + y + 3z=a.
Para o sistema continuar consistente, essas duas devem ser a mesma equação, exigindo
a=2.

Resposta

a=2 e b=3.

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