20-Calcule o limite, se existir:
lim x 2 arcsen(x^2-44 x^2-8 x)=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto2arcsin!gl(x^2-44x^2-8xgr)
O conteúdo envolve manipulação algébrica (fatoração) para remover a forma 0/0 e depois usar a continuidade da função arcsin em pontos internos do seu domínio [-1,1].

Passo 2

Primeiro simplificamos a fração interna sempre que xneq2. Observe que
x^2-4=(x-2)(x+2), 4x^2-8x=4x(x-2)
Cancelando o fator (x-2), temos
x^2-44x^2-8x =(x-2)(x+2)4x(x-2) =x+24x

Passo 3

Agora calculamos o limite da expressão simplificada quando xto2:
limxto2x+24x =2+24cdot2 =48 =tfrac12

Passo 4

Como arcsin(u) é contínua para uin(-1,1) e tfrac12 está nesse intervalo, podemos passar o limite para dentro da função:
limxto2arcsin!gl(x^2-44x^2-8xgr) =arcsin!l(limxto2tfracx+24xr) =arcsin!l(tfrac12r)
E sabemos que
arcsin!l(tfrac12r)=pi6

Resposta

pi6

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