Calcule o comprimento da curva
gamma(t)=lang<=t^22, t^3, raiz2 t^2rang<= ; 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
vecgamma(t)=llang<= tfract^22,,t^3,,raiz2,t^2rrang<= para 0<= t<=1.
Vamos usar a definição de comprimento de arco em R^3:
L=integrala^bl|vecgamma'(t)r|,dt,
que exige calcular vecgamma'(t), seu módulo e integrar de 0 a 1.

Passo 2

Derivando componente a componente, obtemos
vecgamma'(t) =llang<= ddtt^22,,ddtt^3,,ddt(raiz2,t^2)rrang<= =lang<= t,,3t^2,,2raiz2,trang<=

Passo 3

Calculamos o módulo de vecgamma'(t):
l|vecgamma'(t)r| =raizt^2+(3t^2)^2+(2raiz2,t)^2 =raizt^2+9t^4+8t^2 =raiz9t^4+9t^2 =3traizt^2+1

Passo 4

O comprimento vira a integral
L=integral0^13traizt^2+1,dt

Passo 5

Fazendo a substituição u=t^2+1, então du=2t,dt e t,dt=tfracdu2.
Quando t=0, u=1; quando t=1, u=2. Logo,
L =3integral0^1traizt^2+1,dt =32integral1^2raizu,du

Passo 6

Integramos e avaliamos de 1 a 2:
32integral1^2u^1/2,du =32cdot23l[u^3/2r]1^2 =l[u^3/2r]1^2 =2^3/2-1 =2raiz2-1

Resposta

O comprimento da curva é 2raiz2-1.

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