Questão 9 [sof-1]. Qual das seguintes alternativas representa a solução geral da equação diferencial
t y^prime prime+(4 t-1) y^prime+(4 t-2) y=0 ?
y(t)=c1 e^-2 t+c2 e^-2 t+1.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes dependentes de t:
t,y''+(4t-1),y'+(4t-2),y=0
O conteúdo é equações lineares de segunda ordem com coeficientes não constantes. Para resolver, vamos primeiro tentar uma solução exponencial e depois usar redução de ordem para obter a segunda solução independente.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por t (supondo tneq0):
y''+l(4-1tr)y'+l(4-2tr)y=0
Aqui identificamos
p(t)=4-1t, q(t)=4-2t

Passo 3

Procuramos uma solução do tipo y=e^r t. Então y'=r e^r t e y''=r^2 e^r t. Substituindo em
t,r^2e^rt+(4t-1),r e^rt+(4t-2),e^rt=0
fatoramos e^rt e obtemos
(r+2)l[t(r+2)-1r]=0
Para que isso valha para todo t, devemos ter r+2=0, ou seja
r=-2
Logo uma solução é
y1(t)=e^-2t

Passo 4

Para achar a segunda solução usamos redução de ordem. A fórmula é
y2=y1(t)integral e^-integral p(t),dty1(t)^2,dt
Como
integral p(t),dt=integrall(4-1tr)dt=4t-ln t,
e^-integral p = e^-4t+ln t = t,e^-4t,
temos
y2 = e^-2tintegral t,e^-4te^-4t,dt = e^-2tintegral t,dt = e^-2t,t^22
Como a constante 1/2 pode ser absorvida em C2, podemos tomar
y2(t)=t^2,e^-2t

Passo 5

A solução geral é combinação linear das duas soluções independentes:
y(t)=C1,e^-2t+C2,t^2,e^-2t

Resposta

y(t)=C1,e^-2t+C2,t^2,e^-2t

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