Questão 9 [sof-1]. Qual das seguintes alternativas representa a solução geral da equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes dependentes de
:
O conteúdo é equações lineares de segunda ordem com coeficientes não constantes. Para resolver, vamos primeiro tentar uma solução exponencial e depois usar redução de ordem para obter a segunda solução independente.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por
(supondo
):
Aqui identificamos
Passo 3
Procuramos uma solução do tipo
. Então
e
. Substituindo em
fatoramos
e obtemos
Para que isso valha para todo
, devemos ter
, ou seja
Logo uma solução é
Passo 4
Para achar a segunda solução usamos redução de ordem. A fórmula é
Como
temos
Como a constante
pode ser absorvida em
, podemos tomar
Passo 5
A solução geral é combinação linear das duas soluções independentes: