20-Calcule o limite, se existir:
lim x 2 x^4-168-x^3=

Passo 1

O enunciado pede
limxto2x^4-168-x^3
Ao substituir x=2 diretamente, o numerador vira 2^4-16=0 e o denominador vira 8-2^3=0, ou seja, temos a forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração para eliminar esse fator nulo.

Passo 2

Fatoramos primeiro o numerador como diferença de quadrados duas vezes:
x^4-16 = (x^2-4)(x^2+4) = (x-2)(x+2)(x^2+4)
Em seguida, fatoramos o denominador como diferença de cubos:
8 - x^3 = 2^3-x^3 = (2-x),(4+2x+x^2) = -(x-2),(x^2+2x+4)

Passo 3

Substituindo essas fatorações na expressão do limite, temos
(x-2)(x+2)(x^2+4)-(x-2)(x^2+2x+4) = -,(x+2)(x^2+4)x^2+2x+4,
onde o fator comum (x-2) foi cancelado, eliminando a indeterminação.

Passo 4

Agora podemos substituir x=2 sem problema:
-,(2+2),(2^2+4)2^2+2cdot2+4 = -,4cdot84+4+4 = -,3212 = -83

Resposta

-tfrac83

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