Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
integral^a integral^raiza^2-x^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^aintegral0^raiza^2-x^2dy,dx
convertendo para coordenadas polares. O conteúdo necessário envolve a interpretação geométrica da região de integração (um quarto de disco de raio a no primeiro quadrante) e a fórmula de mudança de variáveis para coordenadas polares com o jacobiano r.

Passo 2

Vamos identificar a região D de integração no plano xy. As desigualdades
0 <= x <= a, 0 <= y <= raiza^2-x^2
descrevem exatamente o quarto de disco de raio a no primeiro quadrante, ou seja,
D = (x,y)mid x^2+y^2<= a^2,;x>=0,;y>=0

Passo 3

Em coordenadas polares usamos
x = rcostheta, y = rsintheta, r>=0,; 0<=theta<= tfracpi2,
e o elemento de área transforma como
dx,dy = r,dr,dtheta

Passo 4

Substituindo na integral, temos
integral duplaDdx,dy = integraltheta=0^pi/2integralr=0^ar,dr,dtheta
Primeiro integramos em r:
integral0^ar,dr = l[tfracr^22r]0^a = a^22
Em seguida, integramos em theta:
integral0^pi/2dtheta = pi2
Multiplicando os resultados,
integral duplaDdx,dy = a^22cdotpi2 = pi a^24

Resposta

pi a^24

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