A área englobada pelo círculo r=sen theta é dada por
A=integral0^2 pi integral0^sen theta r d r d theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região descrita em coordenadas polares por
r = sintheta
e sugere calcular
A=integral0^2piintegral0^sinthetar,dr,dtheta
O conteúdo é “área em coordenadas polares”, para o qual usamos a fórmula
A=integraltheta1^theta2integral0^r(theta)r,dr,dtheta =12integraltheta1^theta2r(theta)^2,dtheta

Passo 2

Perceba que para thetain[pi,2pi] temos sintheta<=0, ou seja, não há região com r>=0 além de 0, então não devemos integrar ali (caso contrário contaríamos área “negativa” ou regiões repetidas). A região existe apenas quando sintheta>=0, isto é, thetain[0,pi].

Passo 3

Aplicando a fórmula direta para thetain[0,pi], obtemos
A=12integral0^pil(sinthetar)^2dtheta

Passo 4

Calculemos
integral0^pisin^2theta,dtheta =pi2,
pois sin^2theta=(1-cos2theta)/2 e sua integral de 0 a pi é pi/2.

Passo 5

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A=12cdotpi2=pi4

Resposta

A=pi4

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