Se R for a região do primeiro quadrante delimitada pelos círculos r=1 e r=2 e se f for contínua em R, então
integral duplaR f(r, theta) d A=integral0^pi / 2 integral1^2 f(r, theta) d r d theta

Passo 1

O enunciado diz que R é a região no primeiro quadrante limitada pelos círculos r=1 e r=2, e que f é contínua em R. O objetivo é escrever a integral dupla de f sobre R usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar da expressão do elemento de área em coordenadas polares e dos limites adequados para r e theta.

Passo 2

Em coordenadas polares, um ponto (x,y) é descrito por (rcostheta,rsintheta) e o elemento de área dA se transforma em
dA = r,dr,dtheta,
onde o fator r é o jacobiano da mudança de variável.

Passo 3

A região R corresponde ao setor anelar no primeiro quadrante entre os círculos de raios 1 e 2. Logo, os parâmetros variam como
1 <= r <= 2 e 0 <= theta <= pi2

Passo 4

Substituindo dA = r,dr,dtheta e os limites em r e theta, a integral dupla fica
integral duplaR f(r,theta),dA = integraltheta=0^pi/2integralr=1^2 f(r,theta);l(r,dr,dthetar)

Resposta

integral duplaR f(r,theta),dA = integral0^pi/2integral1^2 f(r,theta);r,dr,dtheta

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